\gdef\red#1{{\color{cb8680}{#1}}} \gdef\green#1{{\color{4f8d63}{#1}}} \gdef\gray#1{{\color{gray}{#1}}} \gdef\purple#1{{\color{B189C6}{#1}}} \gdef\orange#1{{\color{dfa04b}{#1}}} \gdef\white#1{{\color{white}{#1}}}
存在 广义 对称性：
(1) 高形式 (higher form) 对称性：作用在非局域算符上
(2) 不可逆 (non-invertible) 对称性：融合 (fusion) 代数
广义对称性跟普通对称性也有类似的功效。
定义：若集合 GGG 既是 群 又是 光滑流形，且群乘法和取逆均为光滑操作，则称 GGG 为一个 李群 (Lie group)
流形结构
说明 GGG 具有连续的几何形态，称为 群流形。
群元最少用 nnn 个连续坐标描述，如 g(x1,x2,…,xn)g(x_1, x_2, \ldots, x_n)g(x1,x2,…,xn)。这个 nnn 称为 GGG 的 维度 dimG\dim GdimG。
当 δxi→0\delta x_i \to 0δxi→0，g(x1,x2,x3)g(x_1, x_2, x_3)g(x1,x2,x3) 与 g(x1+δx1,x2+δx2,x3+δx3)g(x_1 + \delta x_1, x_2 + \delta x_2, x_3 + \delta x_3)g(x1+δx1,x2+δx2,x3+δx3) 「靠得很近」。
光滑结构
说明可以讨论任意阶求导，比如
∂x1g(x1,x2,x3) ,∂xi∂xjg(x1,x2,x3)\begin{align*} \partial_{x_1} g(x_1, x_2, x_3) \ , \partial_{x_i}\partial_{x_j} g(x_1, x_2, x_3) \end{align*} ∂x1g(x1,x2,x3) ,∂xi∂xjg(x1,x2,x3)
群乘法与取逆光滑
g(z1(x,y),…)=g(x1,…)g(y1,…) .g(z_1(x, y), \ldots) = g(x_1, \ldots) g(y_1, \ldots) \ . g(z1(x,y),…)=g(x1,…)g(y1,…) .
U(1)≔ {1×1复矩阵u ∣ uu†=11×1}= {e2πiθ ∣ θ∈[0,1]}\begin{align*} U(1) \coloneqq & \ \{1 \times 1 \text{复矩阵} u \ | \ u u^\dagger = \mathbf{1}_{1 \times 1}\} \\ = & \ \{e^{2\pi i \theta} \ | \ \theta \in [0,1]\} \end{align*} U(1):== {1×1复矩阵u ∣ uu†=11×1} {e2πiθ ∣ θ∈[0,1]}
SO(2)≔(cosθsinθ−sinθcosθ)≃U(1) .\begin{align*} SO(2) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin \theta\\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \simeq U(1) \ . \end{align*} SO(2):=(cosθ−sinθsinθcosθ)≃U(1) .
(x1,y1,x2,y2,…,xn,yn) .\begin{align*} (x_1, y_1, x_2, y_2, \ldots, x_n, y_n) \ . \end{align*} (x1,y1,x2,y2,…,xn,yn) .
Rn=R×⋯×R,U(1)n=U(1)×…×U(1)\mathbb{R}^n = \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}, \quad U(1)^n = U(1) \times \ldots \times U(1) Rn=R×⋯×R,U(1)n=U(1)×…×U(1)
是最简单、维度最小的 非交换 紧 李群
二维
不存在 二维非交换紧李群。
二维连通李群有 R2\mathbb{R}^2R2，R×S1\mathbb{R}\times S^1R×S1，S1×S1S^1 \times S^1S1×S1，Aff+(R)\operatorname{Aff}^+(\mathbb{R})Aff+(R)，
Aff+(R)={(ab01) ∣ a,b∈R,a>0}\operatorname{Aff}^+(\mathbb{R}) = \bigg\{\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ | \ a, b \in \mathbb{R}, a > 0\bigg\} Aff+(R)={(a0b1) ∣ a,b∈R,a>0}
其中前两个 交换 非紧，S1×S1S^1 \times S^1S1×S1 紧且 交换；Aff+(R)\operatorname{Aff}^+(\mathbb{R})Aff+(R) 非交换且 非紧。
定义：考虑 2×22 \times 22×2 复矩阵 UUU，使得
UU†=U†U=12×2,detU=1 .\begin{align*} U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbf{1}_{2 \times 2}, \qquad \det U = 1\ . \end{align*} UU†=U†U=12×2,detU=1 .
这样的矩阵称为 2×22\times 22×2 特殊幺正 (special unitary) 矩阵。
逆
由于维度有限 (二维)，幺正条件 UU†=1U U^\dagger = \mathbf{1}UU†=1 说明
U†=U−1 .U^\dagger = U^{-1} \ . U†=U−1 .
因此 UU†=1⇒U†U=1UU^\dagger = \mathbf{1} \Rightarrow U^\dagger U = \mathbf{1}UU†=1⇒U†U=1。
定理：SU(2)SU(2)SU(2) 形成一个 群，单位元 是单位矩阵，群乘法 是矩阵乘法，群元的 逆 即为矩阵逆。
群
验证乘法和取逆封闭性即可；结合律是矩阵乘法的基本性质。
(abcd)(aˉcˉbˉdˉ)= (∣a∣2+∣b∣2acˉ+bdˉaˉc+bˉd∣c∣2+∣d∣2)=(1001)detU=ad−bc= 1 .\begin{align*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar a & \bar c\\ \bar b & \bar d \end{pmatrix} = & \ \begin{pmatrix} |a|^2 + |b|^2 & a\bar c + b \bar d\\ \bar a c + \bar b d & |c|^2 + |d|^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \det U = ad - bc = & \ 1\ . \end{align*} (acbd)(aˉbˉcˉdˉ)=detU=ad−bc= (∣a∣2+∣b∣2aˉc+bˉdacˉ+bdˉ∣c∣2+∣d∣2)=(1001) 1 .
∣a∣2+∣b∣2= 1,∣c∣2+∣d∣2 =1 ,aˉc+bˉd= 0 ,ad−bc =1 .\begin{align*} |a|^2 + |b|^2 = & \ 1, \qquad & |c|^2 + |d|^2 & \ = 1 \ , \\ \bar a c + \bar b d = & \ 0 \ , & ad - bc& \ = 1 \ . \end{align*} ∣a∣2+∣b∣2=aˉc+bˉd= 1, 0 ,∣c∣2+∣d∣2ad−bc =1 , =1 .
aˉc+bˉd=0 ,ad−bc=1⇒{c=−bˉ∣a∣2+∣b∣2 ,d=+aˉ∣a∣2+∣b∣2 .\bar a c + \bar b d = 0 \ , \quad ad - bc= 1 \Rightarrow \left\{\begin{array}{cc} c = - \frac{\bar b}{|a|^2 + |b|^2} \ , \\ d = + \frac{\bar a}{|a|^2 + |b|^2} \ . \end{array} \right. aˉc+bˉd=0 ,ad−bc=1⇒{c=−∣a∣2+∣b∣2bˉ ,d=+∣a∣2+∣b∣2aˉ .
d=aˉ,c=−bˉ ,∣a∣2+∣b∣2=1 ,a,b∈C .\begin{align*} d = \bar a, \quad c = - \bar b \ , \qquad |a|^2 + |b|^2 = 1 \ , \quad a, b \in \mathbb{C} \ . \end{align*} d=aˉ,c=−bˉ ,∣a∣2+∣b∣2=1 ,a,b∈C .
SU(2)={(ab−bˉaˉ) ∣ ∣a∣2+∣b∣2=1, a,b∈C}\begin{align*} SU(2) = \{ \begin{pmatrix} a & b\\ -\bar b & \bar a \end{pmatrix} \ | \ |a|^2 + |b|^2 = 1, \ a, b \in \mathbb{C} \} \end{align*} SU(2)={(a−bˉbaˉ) ∣ ∣a∣2+∣b∣2=1, a,b∈C}
重新标记 a=x4+ix3a = x_4 + i x_3a=x4+ix3, b=x2+ix1b = x_2 + i x_1b=x2+ix1，得到四维空间 R4\mathbb{R}^4R4 中的 三维球面/球壳 (three dimensional sphere/spherical-shell) S3S^3S3
x12+x22+x32+x42=1 ⇒ SU(2)=拓扑S3 .\begin{align*} x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1 \ \Rightarrow \ SU(2) =_\text{拓扑} S^3 \ . \end{align*} x12+x22+x32+x42=1 ⇒ SU(2)=拓扑S3 .
作为 R4\mathbb{R}^4R4 中的子集，三维球面 S3S^3S3 是 空心 的。
SU(2)SU(2)SU(2) 元素
SU(2)SU(2)SU(2) 的元素 uuu 是 2×22 \times 22×2 矩阵，虽然有 4 个矩阵元，但是实际上 u11u_{11}u11 和 u12u_{12}u12 两个数就完全决定了整个 uuu。
当然，u11u_{11}u11 和 u12u_{12}u12 必须满足
∣u11∣2+∣u12∣2=1 .\begin{align*} |u_{11}|^2 + |u_{12}|^2 = 1 \ . \end{align*} ∣u11∣2+∣u12∣2=1 .
dimSU(2)=3\dim SU(2) = 3 dimSU(2)=3
(eiφe−iφ),∀φ∈R .\begin{pmatrix} e^{i \varphi} \\ & e^{-i \varphi} \end{pmatrix} , \qquad \forall \varphi \in \mathbb{R} \ . (eiφe−iφ),∀φ∈R .
(ie−iφieiφ)→φ→±π2(±1∓1) .\begin{pmatrix} & i e^{-i \varphi} \\ i e^{i \varphi} \end{pmatrix} \xrightarrow{\varphi \to \pm\frac{\pi}{2}} \begin{pmatrix} & \pm 1 \\ \mp 1 & \end{pmatrix} \ . (ieiφie−iφ)φ→±2π(∓1±1) .
x1= sinω2sinθcosφ,x2=sinω2sinθsinφ ,x3= sinω2cosθ,x4=cosω2 .\begin{align*} x_1 = & \ \sin\frac{\omega}{2}\sin\theta \cos\varphi, & x_2 = & \sin\frac{\omega}{2}\sin\theta \sin \varphi \ , \\ x_3 = & \ \sin\frac{\omega}{2}\cos\theta, & x_4 = & \cos\frac{\omega}{2} \ . \end{align*} x1=x3= sin2ωsinθcosφ, sin2ωcosθ,x2=x4=sin2ωsinθsinφ ,cos2ω .
三维空间球坐标
x1= R(x4)sinθcosφ,x2= R(x4)sinθsinφx3= R(x4)cosθ,R(x4)= 1−x42 .\begin{align*} x_1 = & \ R(x_4) \sin \theta \cos\varphi, & x_2 = & \ R(x_4)\sin \theta \sin \varphi\\ x_3 = & \ R(x_4) \cos \theta, & R(x_4) = & \ \sqrt{1 - x_4^2} \ . \end{align*} x1=x3= R(x4)sinθcosφ, R(x4)cosθ,x2=R(x4)= R(x4)sinθsinφ 1−x42 .
R(x4)∈[0,1] .R(x_4) \in [0, 1] \ . R(x4)∈[0,1] .
「南北极」
n⃗(θ,φ)=n⃗=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ) .\begin{align*} \vec n(\theta, \varphi) = \vec n = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta) \ . \end{align*} n(θ,φ)=n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ) .
x1= sinω2n1,x2=sinω2n2 ,x3= sinω2n3,x4=cosω2 .\begin{align*} x_1 = & \ \sin\frac{\omega}{2}\orange{n_1}, & x_2 = & \sin\frac{\omega}{2}\orange{n_2} \ , \\ x_3 = & \ \sin\frac{\omega}{2}\orange{n_3}, & x_4 = & \cos\frac{\omega}{2} \ . \end{align*} x1=x3= sin2ωn1, sin2ωn3,x2=x4=sin2ωn2 ,cos2ω .
再把 (ω,n⃗)(\omega, \vec n)(ω,n) 合成为 ωn⃗\omega \vec nωn：SU(2)SU(2)SU(2) 中的点可用半径 2π2\pi2π 的 三维球体 B2π3B^3_{2\pi}B2π3 的点表示
三维球体
ωn⃗\omega \vec nωn 是 R3\mathbb{R}^3R3 中的矢量，长度为 ω∈[0,2π]\omega \in [0, 2\pi]ω∈[0,2π]。调整 ω\omegaω 以及 n⃗\vec nn 的指向可以穷尽 B2π3B^3_{2\pi}B2π3 里所有的点。
实心
球体 B2π3B^3_{2\pi}B2π3 在 R3\mathbb{R}^3R3 中是 实心 的。
粘合
类比
球面与圆盘
nnn 维上半/下半球面 (球壳)「相当于」nnn 维圆盘
(ab−bˉaˉ)= (x4+ix3x2+ix1−x2+ix1x4−ix3)= x41+ix3σ3+ix2σ2+ix1σ1=x41+ix⃗⋅σ⃗ .\begin{align*} \begin{pmatrix} a & b \\ - \bar b & \bar a \end{pmatrix} = & \ \begin{pmatrix} x_4 + i x_3 & x_2 + i x_1\\ - x_2 + i x_1 & x_4 - i x_3 \end{pmatrix}\\ = & \ x_4 \mathbf{1} + i x_3 \sigma_3 + i x_2 \sigma_2 + i x_1 \sigma_1 = x_4 \mathbf{1} + i \vec x \cdot \vec \sigma \ . \end{align*} (a−bˉbaˉ)== (x4+ix3−x2+ix1x2+ix1x4−ix3) x41+ix3σ3+ix2σ2+ix1σ1=x41+ix⋅σ .
Pauli 矩阵
σ1=(0110),σ2=(0−ii0),σ3=(100−1)\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} σ1=(0110),σ2=(0i−i0),σ3=(100−1)
2×22 \times 22×2 无迹厄密，满足
σiσj=δij1+i∑k=13ϵijkσk=12([σi,σj]+{σi,σj}) .\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \mathbf{1} + i \sum_{k = 1}^{3} \epsilon_{ijk}\sigma_k = \frac{1}{2}\Big([\sigma_i, \sigma_j] + \{\sigma_i, \sigma_j\} \Big) \ . σiσj=δij1+ik=1∑3ϵijkσk=21([σi,σj]+{σi,σj}) .
对易子和反对易子
[σi,σj]=2iϵijkσk,{σi,σj}=2δij .[\sigma_i, \sigma_j] = 2i \epsilon_{ijk}\sigma_k, \qquad \{\sigma_i, \sigma_j\} = 2 \delta_{ij} \ . [σi,σj]=2iϵijkσk,{σi,σj}=2δij .
人们经常写 (su(2)\mathfrak{su}(2)su(2) 角动量对易关系)
[12σi,12σj]=iϵijk12σk .\left[\frac{1}{2}\sigma_i, \frac{1}{2}\sigma_j\right] = i\epsilon_{ijk}\frac{1}{2}\sigma_k \ . [21σi,21σj]=iϵijk21σk .
考虑任意实矢量 X=(X1,X2,X3)X = (X_1, X_2, X_3)X=(X1,X2,X3)
(X⃗⋅σ⃗)(X⃗⋅σ⃗)= ∑i,j=13XiXjσiσj=12∑i,j=13XiXj{σi,σj}= ∑i=13Xi21=∣X∣21 .\begin{align*} (\vec X \cdot \vec \sigma) (\vec X \cdot \vec \sigma) = & \ \sum_{i, j = 1}^{3} X_i X_j\sigma_i \sigma_j = \frac{1}{2} \sum_{i, j = 1}^{3} X_i X_j\{\sigma_i, \sigma_j\}\\ = & \ \sum_{i = 1}^{3}X_i^2 \mathbf{1} = |X|^2 \mathbf{1}\ . \end{align*} (X⋅σ)(X⋅σ)== i,j=1∑3XiXjσiσj=21i,j=1∑3XiXj{σi,σj} i=1∑3Xi21=∣X∣21 .
当 X⃗=n⃗\vec X = \vec nX=n 是 单位矢量，则
(n⃗⋅σ⃗)even=1 ,(n⃗⋅σ⃗)odd=n⃗⋅σ⃗ .(\vec n \cdot \vec \sigma)^\text{even} = \mathbf{1} \ , \qquad (\vec n \cdot \vec \sigma)^\text{odd} = \vec n \cdot \vec \sigma \ . (n⋅σ)even=1 ,(n⋅σ)odd=n⋅σ .
= cosω21+isinω2(n1σ1+n2σ2+n3σ3)U(n⃗,ω)≔ cosω21+isinω2n⃗⋅σ⃗ .\begin{align*} = & \ \cos\frac{\omega}{2}\mathbf{1} + i \sin \frac{\omega}{2}\orange{(n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2 + n_3 \sigma_3)} \\ U(\vec n, \omega) \coloneqq & \ \cos\frac{\omega}{2} \mathbf{1} + i \sin \frac{\omega}{2} \orange{\vec n \cdot \vec \sigma} \ . \end{align*} =U(n,ω):= cos2ω1+isin2ω(n1σ1+n2σ2+n3σ3) cos2ω1+isin2ωn⋅σ .
U(n⃗,ω)=ei2ωn⃗⋅σ⃗ .U(\vec n, \omega) = e^{\frac{i}{2}\omega \vec n \cdot \vec \sigma} \ . U(n,ω)=e2iωn⋅σ .
证明
eA≔∑k=0+∞1k!Ak .\green{e^A \coloneqq {\sum}_{k = 0}^{+\infty}\frac{1}{k!} A^k}\ . eA:=∑k=0+∞k!1Ak .
ei2ωn⃗⋅σ⃗= ∑k=0+∞1k!(i2ωn⃗⋅σ⃗)k=∑k=0+∞1k!(i2ω)k(n⃗⋅σ⃗)k= ∑k=even+∞1k!(i2ω)k(n⃗⋅σ⃗)k+∑k=odd+∞1k!(i2ω)k(n⃗⋅σ⃗)k\begin{align*} e^{\frac{i}{2}\omega \vec n \cdot \vec \sigma} = & \ {\sum}_{k = 0}^{+\infty}\frac{1}{k!} \Big(\frac{i}{2}\omega \vec n \cdot \vec \sigma\Big)^k = {\sum}_{k = 0}^{+\infty}\frac{1}{k!} \Big(\frac{i}{2}\omega\Big)^k \Big(\vec n \cdot \vec \sigma\Big)^k\\ = & \ {\sum}_{k = \text{even}}^{+\infty} \frac{1}{k!} \Big(\frac{i}{2}\omega\Big)^k (\vec n \cdot \vec\sigma)^k + {\sum}_{k = \text{odd}}^{+\infty} \frac{1}{k!} \Big(\frac{i}{2}\omega\Big)^k (\vec n \cdot \vec\sigma)^k \end{align*} e2iωn⋅σ== ∑k=0+∞k!1(2iωn⋅σ)k=∑k=0+∞k!1(2iω)k(n⋅σ)k ∑k=even+∞k!1(2iω)k(n⋅σ)k+∑k=odd+∞k!1(2iω)k(n⋅σ)k
(n⃗⋅σ⃗)2ℓ=1,(n⃗⋅σ⃗)2ℓ+1=n⃗⋅σ⃗ .(\vec n \cdot \vec \sigma)^{2\ell} = \mathbf{1}, \qquad (\vec n \cdot \vec \sigma)^{2\ell + 1} = \vec n \cdot \vec \sigma \ . (n⋅σ)2ℓ=1,(n⋅σ)2ℓ+1=n⋅σ .
= ∑ℓ=0+∞1(2ℓ)!(i2ω)2ℓ1+∑ℓ=0+∞1(2ℓ+1)!(i2ω)2ℓ+1n⃗⋅σ⃗= cosω21+isinω2n⃗⋅σ⃗=U(n⃗,ω) .\begin{align*} = & \ \orange{\sum_{\ell = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2\ell)!} \Big(\frac{i}{2}\omega\Big)^{2\ell}} \mathbf{1} + \blue{\sum_{\ell = 0}^{+\infty} \frac{1}{(2\ell + 1)!} \Big(\frac{i}{2}\omega\Big)^{2\ell + 1}} \vec n \cdot \vec \sigma \\ = & \ \orange{\cos \frac{\omega}{2}}\mathbf{1} + \blue{i \sin \frac{\omega}{2}} \vec n \cdot \vec \sigma = U(\vec n, \omega)\ . \end{align*} == ℓ=0∑+∞(2ℓ)!1(2iω)2ℓ1+ℓ=0∑+∞(2ℓ+1)!1(2iω)2ℓ+1n⋅σ cos2ω1+isin2ωn⋅σ=U(n,ω) .
四元数 Euler 公式
eiω=cosω+isinω .e^{i \omega} = \cos \omega + i \sin \omega \ . eiω=cosω+isinω .
单一的虚数单位 iii 被升级为三个新的「虚数单位」(四元数)
iσ1,iσ2,iσ3,(iσa)2=−12×2 .i \sigma_1, \quad i \sigma_2, \quad i \sigma_3 , \qquad (i \sigma_a)^2 = - \mathbf{1}_{2 \times 2} \ . iσ1,iσ2,iσ3,(iσa)2=−12×2 .
欧拉公式升级为
eiω(n⃗⋅σ⃗)=cosω1+i(n⃗⋅σ⃗)sinωe^{i \omega (\vec n \cdot \vec \sigma)} = \cos\omega \mathbf{1} + i (\vec n \cdot \vec \sigma) \sin\omega eiω(n⋅σ)=cosω1+i(n⋅σ)sinω
−U(n⃗,ω)∈SU(2),U(n⃗,−ω)∈SU(2) .\begin{align*} - U(\vec n, \omega) \in SU(2), \qquad U(\vec n, - \omega) \in SU(2) \ . \end{align*} −U(n,ω)∈SU(2),U(n,−ω)∈SU(2) .
−U(n⃗,ω)=U(−n⃗,2π−ω),U(n⃗,−ω)=U(−n⃗,ω) .\begin{align*} - U(\vec n, \omega) = U( - \vec n, 2\pi - \omega), \qquad U(\vec n, -\omega) = U(- \vec n, \omega)\ . \end{align*} −U(n,ω)=U(−n,2π−ω),U(n,−ω)=U(−n,ω) .
−U(n⃗,ω)= −cosω2−in⃗⋅σ⃗sinω2= cos2π−ω2+i(−n⃗)⋅σ⃗sin2π−ω2=U(−n⃗,2π−ω) .\begin{align*} - U(\vec n, \omega) = & \ - \cos\frac{\omega}{2} - i \vec n \cdot \vec \sigma \sin\frac{\omega}{2}\\ = & \ \cos \frac{2\pi - \omega}{2} + i (-\vec n) \cdot \vec \sigma \sin\frac{2\pi - \omega}{2} = U(- \vec n, 2\pi - \omega) \ . \end{align*} −U(n,ω)== −cos2ω−in⋅σsin2ω cos22π−ω+i(−n)⋅σsin22π−ω=U(−n,2π−ω) .
U(n⃗,−ω)=cosω2−in⃗⋅σ⃗sinω2=cosω2+i(−n⃗)⋅σ⃗sinω2 .U(\vec n, - \omega) = \cos \frac{\omega}{2} - i \vec n \cdot \vec \sigma \sin \frac{\omega}{2} = \cos \frac{\omega}{2} + i (\orange{-\vec n}) \cdot \vec \sigma \sin \frac{\omega}{2} \ . U(n,−ω)=cos2ω−in⋅σsin2ω=cos2ω+i(−n)⋅σsin2ω .
由于
U(n⃗,ω)=cosω21+isinω2n⃗⋅σ⃗ ,U(\vec n, \omega) = \cos\frac{\omega}{2} \mathbf{1} + i \sin \frac{\omega}{2} \orange{\vec n \cdot \vec \sigma} \ , U(n,ω)=cos2ω1+isin2ωn⋅σ ,
U(n⃗,ω)U(\vec n, \omega)U(n,ω) 具有 4π4\pi4π 周期性，
U(n⃗,ω+4πn)=U(n⃗,ω) ,U(n⃗,ω+2πk)=(−1)kU(n⃗,ω) .\begin{align*} U(\vec n, \omega + 4\pi n) = U(\vec n, \omega) \ , \qquad U(\vec n, \omega + 2\pi k) = (-1)^k U(\vec n, \omega) \ . \end{align*} U(n,ω+4πn)=U(n,ω) ,U(n,ω+2πk)=(−1)kU(n,ω) .
利用 4π4\pi4π 周期性可以将 ω∉[−2π,2π]\omega \not \in [-2\pi, 2\pi]ω∈[−2π,2π] 移动到 [−2π,2π][-2\pi, 2\pi][−2π,2π] 之间
定理：对任意 ω∈[0,2π]\omega \in [0, 2\pi]ω∈[0,2π]，{U(n⃗,ω)} ∣ all n⃗}\{U(\vec n, \omega)\} \ | \ \text{all} \ \vec n\}{U(n,ω)} ∣ all n} 形成一个 共轭类。
必要条件
trU(n⃗,ω)=trU′U(n⃗,ω)U′−1=2cosω2,∀U′∈SU(2)\begin{align*} \operatorname{tr}U(\vec n, \omega) = \operatorname{tr}U' U(\vec n, \omega) U'^{-1} = 2\cos\frac{\omega}{2}, \qquad \forall U' \in SU(2) \end{align*} trU(n,ω)=trU′U(n,ω)U′−1=2cos2ω,∀U′∈SU(2)
共轭的元素一定具有相同 cosω2\cos\frac{\omega}{2}cos2ω。
在 ω∈[0,2π]\omega\in [0, 2\pi]ω∈[0,2π] 内，不同 ω\omegaω 一定对应不同 cosω2\cos\frac{\omega}{2}cos2ω。
充分条件：相同 ω\omegaω 一定共轭
考虑 ∀χ∈R\forall \chi \in \mathbb{R}∀χ∈R,
X≔(iei(φ−χ)cosθ2ie−iχsinθ2ieiχsinθ2−ie−i(φ−χ)cosθ2)∈SU(2) ,\begin{align*} X \coloneqq \begin{pmatrix} i e^{i (\varphi - \chi)} \cos\frac{\theta}{2} & i e^{-i \chi} \sin \frac{\theta}{2}\\ i e^{i \chi} \sin \frac{\theta}{2} & - i e^{ - i (\varphi - \chi)}\cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \in SU(2)\ , \end{align*} X:=(iei(φ−χ)cos2θieiχsin2θie−iχsin2θ−ie−i(φ−χ)cos2θ)∈SU(2) ,
则 U(n⃗(θ,φ),ω)U(\vec n(\theta, \varphi), \omega)U(n(θ,φ),ω) 与 U(e⃗3,ω)U(\vec e_3, \omega)U(e3,ω) 只差一个 共轭变换，
U(n⃗(θ,φ),ω)=X−1U(e⃗3,ω)X .\begin{align*} U(\vec n(\theta, \varphi), \omega) = X^{-1}U(\vec e_3, \omega) X\ . \end{align*} U(n(θ,φ),ω)=X−1U(e3,ω)X .
由于 χ\chiχ 可以随意调节，因此 U(n⃗(θ,φ),ω)U(\vec n(\theta, \varphi), \omega)U(n(θ,φ),ω) 与 U(e⃗3,ω)U(\vec e_3, \omega)U(e3,ω) 之间的共轭变换 不唯一。
定义：考虑 SU(2)SU(2)SU(2) 上的函数 fff。若 fff 的值只依赖群元 UUU 所属的 共轭类，
只要 U∼U′∈SU(2) ,f(U)=f(U′) ,\text{只要}~U \sim U' \in SU(2) \ , \qquad f(U) = f(U') \ , 只要 U∼U′∈SU(2) ,f(U)=f(U′) ,
则称 fff 是 SU(2)SU(2)SU(2) 上的 类函数 (class function)
类函数
是有限群上的类函数的推广。特征标 (characters) 均为类函数。
f(U(n⃗,ω))=f(U(e⃗3,ω)) .\begin{align*} f(U(\vec n, \omega)) = f(U(\vec e_3, \omega)) \ . \end{align*} f(U(n,ω))=f(U(e3,ω)) .
U(n⃗,−ω)=U(−n⃗,ω)∈[U(e⃗3,ω)] .\begin{align*} U(\vec n, -\omega) = U(- \vec n, \omega) \in [U(\vec e_3, \omega)] \ . \end{align*} U(n,−ω)=U(−n,ω)∈[U(e3,ω)] .
f(U(n⃗,−ω))=f(U(e⃗3,ω))=f(U(n⃗,ω))\begin{align*} f(U(\vec n, \orange{-\omega})) = f(U(\vec e_3, \omega)) = f(U(\vec n, \orange{\omega})) \end{align*} f(U(n,−ω))=f(U(e3,ω))=f(U(n,ω))
SO(3)≔{实矩阵 R3×3 ∣ RTR=1,detR=1}\green{SO(3) \coloneqq \{\text{实矩阵} \ R_{3 \times 3} \ | \ R^T R = \mathbf{1}, \qquad \det R = 1 \} } SO(3):={实矩阵 R3×3 ∣ RTR=1,detR=1}
SO(3)SO(3)SO(3) 收集所有保持原点不动 R3\mathbb{R}^3R3 中的 正交转动。
任何 R∈SO(3)R \in SO(3)R∈SO(3) 都可以用单位矢量 n⃗\vec nn 与 顺时针 (左手定则) 转动角度 ω\omegaω 描述，记作 R(n⃗,ω)R(\vec n, \omega)R(n,ω)
反向
R(n⃗,ω)R(\vec n, \omega)R(n,ω) 与 R(−n⃗,ω)R(- \vec n, \omega)R(−n,ω) 是 同轴反向 的转动，转动角大小同为 ω\omegaω。
(010)→(cosωsinω0−sinωcosω0001)(010)=(sinωcosω0) .\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\1 \\ 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \cos\omega & \sin \omega & 0\\ - \sin \omega & \cos \omega & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \omega \\ \cos \omega \\ 0 \end{pmatrix} \ . \end{align*} 010→cosω−sinω0sinωcosω0001010=sinωcosω0 .
R(n⃗,ω+2πn)=R(n⃗,ω),R(n⃗,ω)=R(−n⃗,2π−ω) .\begin{align*} R(\vec n, \omega + 2\pi n) = R(\vec n, \omega), \qquad R(\vec n, \omega) = R(- \vec n, 2\pi - \omega) \ . \end{align*} R(n,ω+2πn)=R(n,ω),R(n,ω)=R(−n,2π−ω) .
转角约定：ω∈[0,π]\omega \in [0, \pi]ω∈[0,π]
超出
若有 超出，比如 ω∈[π,2π]\omega \in [\pi, 2\pi]ω∈[π,2π]，可以用
R(n⃗,ω)=R(−n⃗,2π−ω⏟∈[0,π]),∀n⃗.\begin{align*} R(\vec n, \omega) = R(- \vec n, \underbrace{2\pi - \omega}_{\in [0, \pi]}), \qquad \forall \vec n . \end{align*} R(n,ω)=R(−n,∈[0,π]2π−ω),∀n.
R(n⃗,π)=R(−n⃗,π) .\begin{align*} R(\orange{\vec n, \pi}) = R(\blue{-\vec n, \pi}) \ . \end{align*} R(n,π)=R(−n,π) .
Bπ3≔{ωn⃗ ∣ ∀n⃗,∀ω∈[0,π]}B^3_\pi \coloneqq \{\omega \vec n \ | \ \forall \vec n, \forall \omega \in [0, \pi]\} Bπ3:={ωn ∣ ∀n,∀ω∈[0,π]}
πn⃗∼π(−n⃗) .\begin{align*} \orange{\pi \vec n} \sim \blue{\pi (-\vec n)}\ . \end{align*} πn∼π(−n) .
SO(3)SO(3)SO(3) 的实心球体表示法，表面/边界对径点视同。
罗小黑战记中风息展开的 SO(3)SO(3)SO(3) 领域
SO(3)SO(3)SO(3) 的三维上半球壳表示法，边界对径点视同
三维上半球壳相当于三维实心球体，也相当于三维实心圆盘
无边
尽管看起来有个边界，但 SO(3)SO(3)SO(3) 是 无边 的。
R(e⃗3,ω)= (cosωsinω−sinωcosω1),R(e⃗2,ω)=(cosω0−sinω010sinω0cosω)R(e⃗1,ω)= (1000cosωsinω0−sinωcosω)\begin{align*} R(\vec e_3, \omega) = & \ \begin{pmatrix} \cos\omega & \sin \omega \\ - \sin\omega & \cos \omega \\ & & 1 \end{pmatrix}, \quad R(\vec e_2, \omega) = \begin{pmatrix} \cos\omega & 0 & - \sin \omega \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\omega & 0 & \cos \omega \\ \end{pmatrix} \\ R(\vec e_1, \omega) = & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \omega & \sin \omega \\ 0 & - \sin\omega & \cos \omega \\ \end{pmatrix} \end{align*} R(e3,ω)=R(e1,ω)= cosω−sinωsinωcosω1,R(e2,ω)=cosω0sinω010−sinω0cosω 1000cosω−sinω0sinωcosω
T1=(00000−i0i0),T2=(00+i000−i00),T3=(0−i0+i00000)\begin{align*} T_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0&0 & -i\\ 0 & i& 0 \end{pmatrix}, \quad T_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & + i \\ 0 & 0 & 0\\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad T_3 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ +i & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*} T1=00000i0−i0,T2=00−i000+i00,T3=0+i0−i00000
直接验证
[Ti,Tj]=iϵijkTk .\begin{align*} [T_i, T_j] = i \epsilon_{ijk}T_k \ . \end{align*} [Ti,Tj]=iϵijkTk .
与 σi\sigma_iσi 所满足的对易关系比较，
[12σi,12σj]=iϵijk12σk .\begin{align*} [\frac{1}{2}\sigma_i, \frac{1}{2}\sigma_j] = i \epsilon_{ijk}\frac{1}{2}\sigma_k \ . \end{align*} [21σi,21σj]=iϵijk21σk .
这是量子力学中 角动量代数。
R(n⃗,ω)=eiωn⃗⋅T⃗=eiω⃗⋅T⃗ .\begin{align*} R(\vec n, \omega) = e^{i \omega \vec n \cdot \vec T} = e^{i \vec \omega \cdot \vec T} \ . \end{align*} R(n,ω)=eiωn⋅T=eiω⋅T .
S(θ,φ)≔(cosφcosθ−sinφcosφsinθsinφcosθcosφsinφsinθ−sinθ0cosθ)∈SO(3)\begin{align*} S(\theta, \varphi) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos \varphi \cos\theta & - \sin \varphi & \orange{\cos\varphi \sin \theta}\\ \sin \varphi \cos \theta & \cos \varphi & \orange{\sin \varphi \sin \theta}\\ - \sin \theta & 0 & \orange{\cos \theta} \end{pmatrix} \in SO(3) \end{align*} S(θ,φ):=cosφcosθsinφcosθ−sinθ−sinφcosφ0cosφsinθsinφsinθcosθ∈SO(3)
S(θ,φ)e⃗3=n⃗\begin{align*} S(\theta, \varphi)\vec e_3 = \vec n \end{align*} S(θ,φ)e3=n
ST3S−1=∑i=13niTi .\begin{align*} S T_3 S^{-1} = \sum_{i = 1}^{3}n_i T_i \ . \end{align*} ST3S−1=i=1∑3niTi .
SeiωT3S−1=eiωn⃗⋅T⃗=R(n⃗,ω)Se^{i \omega T_3} S^{-1} = e^{i \omega \vec n \cdot \vec T} = R(\vec n, \omega) SeiωT3S−1=eiωn⋅T=R(n,ω)
SR(e⃗3,ω)S−1=R(n⃗,ω)\begin{align*} S R(\vec e_3, \omega) S^{-1} = R(\vec n, \omega) \end{align*} SR(e3,ω)S−1=R(n,ω)
总结
R(Se⃗3,ω)=SR(e⃗3,ω)S−1R(S\vec{e}_3, \omega) = S R(\vec e_3, \omega) S^{-1} R(Se3,ω)=SR(e3,ω)S−1
更一般地，对于任意 S∈SO(3)S\in SO(3)S∈SO(3)，单位矢量 n⃗∈R\vec n \in \mathbb{R}n∈R，都有
R(Sn⃗,ω)=SR(n⃗,ω)S−1\begin{align*} R(S \vec n, \omega) = S R(\vec n, \omega) S^{-1} \end{align*} R(Sn,ω)=SR(n,ω)S−1
共轭类
SO(3)SO(3)SO(3) 中 转角相同 的转动相互共轭。
x^≔∑a=13xaσa .\begin{align*} \hat x \coloneqq \sum_{a = 1}^{3} x_a \sigma_a \ . \end{align*} x^:=a=1∑3xaσa .
12trx^σa=xa .\begin{align*} \frac{1}{2}\operatorname{tr}\hat x \sigma_a = x_a \ . \end{align*} 21trx^σa=xa .
完备性定理证明
H=(h1h2h3h4) .H = \begin{pmatrix} h_1 & h_2\\ h_3 & h_4 \end{pmatrix} \ . H=(h1h3h2h4) .
H=(h1h2h2∗−h1)=h1σ3+(Reh2)σ1−(Imh2)σ2 .H = \begin{pmatrix} h_1 & h_2\\ h_2^* & - h_1 \end{pmatrix} = h_1 \sigma_3 + (\operatorname{Re} h_2) \sigma_1 - (\operatorname{Im} h_2) \sigma_2 \ . H=(h1h2∗h2−h1)=h1σ3+(Reh2)σ1−(Imh2)σ2 .
定理：对任意两个 2×22 \times 22×2 无迹厄密矩阵 x^,y^\hat x, \hat yx^,y^，有
12tr(x^y^)=∑a=13xaya=xTy=x⃗⋅y⃗=⟨x,y⟩\frac{1}{2}\operatorname{tr} (\hat x \hat y) = \sum_{a = 1}^{3} x_a y_a = x^T y = \vec x \cdot \vec y = \langle x, y\rangle 21tr(x^y^)=a=1∑3xaya=xTy=x⋅y=⟨x,y⟩
定理：对任意三个 2×22 \times 22×2 无迹厄密矩阵 x^,y^,z^\hat x, \hat y, \hat zx^,y^,z^ 有
tr(x^y^z^)=2idet(x1y1z1x2y2z2x3y3z3)=2i[x⋅(y×z)]\operatorname{tr} (\hat x \hat y \hat z) = 2i \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3 \end{pmatrix} = 2i [x \cdot (y \times z)]tr(x^y^z^)=2idetx1x2x3y1y2y3z1z2z3=2i[x⋅(y×z)]
即 tr(x^y^z^)\operatorname{tr}(\hat x \hat y \hat z)tr(x^y^z^) 给出三个矢量 x,y,zx, y, zx,y,z 张成的平行六面体的 有向体积。
叉积 两个矢量 x⃗\vec xx 与 y⃗\vec yy 的叉积
x⃗×y⃗≔(x2y3−x3y2x3y1−x1y3x1y2−x2y1)\vec x \times \vec y \coloneqq \begin{pmatrix} x_2 y_3 - x_3 y_2\\ x_3 y_1 - x_1 y_3\\ x_1 y_2 - x_2 y_1 \end{pmatrix}x×y:=x2y3−x3y2x3y1−x1y3x1y2−x2y1
缩写为
(x⃗×y⃗)k=∑i,j=13ϵijkxiyj(\vec x \times \vec y)_k = \sum_{i, j = 1}^{3} \epsilon_{ijk} x_i y_j (x×y)k=i,j=1∑3ϵijkxiyj
有向体积 有向体积 x⃗⋅(y⃗×z⃗)\vec x \cdot (\vec y \times \vec z)x⋅(y×z) 依赖三个矢量的顺序 (定向)，
x⃗⋅(y⃗×z⃗)=−x⃗⋅(z⃗×y⃗)=−y⃗⋅(x⃗⋅z⃗)=z⃗⋅(x⃗×y⃗)=…\vec x \cdot (\vec y \times \vec z) = - \vec x \cdot (\vec z \times \vec y) = - \vec y \cdot (\vec x \cdot \vec z) = \vec z \cdot (\vec x \times \vec y) = \ldotsx⋅(y×z)=−x⋅(z×y)=−y⋅(x⋅z)=z⋅(x×y)=…
定义：对任意 U∈SU(2)U\in SU(2)U∈SU(2)，定义 伴随 (adjoint) 作用
x^→x^′=Ux^U−1=Ux^U† \hat x \to \hat x' = U \hat x U^{-1} = U \hat x U^\dagger x^→x^′=Ux^U−1=Ux^U†
伴随作用/相似变换保留 无迹 性
trUx^U−1=trU−1Ux^=trx^\operatorname{tr} U \hat x U^{-1} = \operatorname{tr} U^{-1} U \hat x = \operatorname{tr} \hat xtrUx^U−1=trU−1Ux^=trx^
伴随作用/相似变换保留 厄密 性
(Ux^U−1)†=Ux^†U−1=Ux^U−1(U \hat x U^{-1})^\dagger = U \hat x^\dagger U^{-1} = U \hat x U^{-1} (Ux^U−1)†=Ux^†U−1=Ux^U−1
x^=∑a=13xaσa→UUx^U−1=∑a=13xa′σa \hat x = \sum_{a = 1}^{3} \purple{x_a} \sigma_a \xrightarrow{U} U \hat x U^{-1} = \sum_{a = 1}^{3} \purple{x'_a} \sigma_a x^=a=1∑3xaσaUUx^U−1=a=1∑3xa′σa
伤害共享 替身被打，本体也会掉血。
xa′=12tr(x^′σa)=12tr(Ux^U−1σa)=12tr[U(∑b=13xbσb)U−1σa] x'_a = \frac{1}{2}\operatorname{tr} (\green{\hat x'} \sigma_a) = \frac{1}{2} \operatorname{tr} (\green{U \hat x U^{-1}} \sigma_a) = \frac{1}{2} \operatorname{tr} \left[U \big(\sum_{b = 1}^{3} x_b \sigma_b\big) U^{-1} \sigma_a \right] xa′=21tr(x^′σa)=21tr(Ux^U−1σa)=21tr[U(b=1∑3xbσb)U−1σa]
=∑b=1312tr(UσbU−1σa)xb≔∑b=13R(U)abxb = \sum_{b = 1}^{3} \frac{1}{2}\operatorname{tr} (U \sigma_b U^{-1} \sigma_a) x_b \coloneqq \sum_{b = 1}^{3} \green{R(U)_{ab}} x_b =b=1∑321tr(UσbU−1σa)xb:=b=1∑3R(U)abxb
定义 R(U)R(U)R(U)：以 R(U)abR(U)_{ab}R(U)ab 为矩阵元的 3×33 \times 33×3 矩阵
R(U)ab≔12tr(UσbU−1σa)=12tr(U−1σaUσb)\green{R(U)_{ab}} \coloneqq \frac{1}{2}\operatorname{tr} (U \sigma_b U^{-1} \sigma_a) = \frac{1}{2}\operatorname{tr} (U^{-1} \sigma_a U \sigma_b)R(U)ab:=21tr(UσbU−1σa)=21tr(U−1σaUσb)
注意 a,ba,ba,b 的位置
x′=R(U)xx' = R(U)xx′=R(U)x，可以看成是 UUU 对 R3\mathbb{R}^3R3 的一个作用
R(U)R(U)R(U) 是一个什么矩阵？
定理：R(U)R(U)R(U) 是 正交 矩阵，
⟨R(U)x,R(U)y⟩=⟨x,y⟩\langle R(U)x, R(U)y\rangle = \langle x, y\rangle ⟨R(U)x,R(U)y⟩=⟨x,y⟩
正交性
⟨R(U)x,R(U)y⟩=12trx^′y^′=12trUx^U−1Uy^U−1\langle R(U)x, R(U)y\rangle = \frac{1}{2}\operatorname{tr} \hat x' \hat y' = \frac{1}{2}\operatorname{tr} U \hat x U^{-1} U \hat yU^{-1}⟨R(U)x,R(U)y⟩=21trx^′y^′=21trUx^U−1Uy^U−1
=12trx^y^=⟨x,y⟩ = \frac{1}{2}\operatorname{tr} \hat x \hat y = \langle x, y\rangle =21trx^y^=⟨x,y⟩
定理：R(U)R(U)R(U) 保持有向体积，即
x⋅(y×z)=x′⋅(y′×z′),⇒detR(U)=1x \cdot (y \times z) = x' \cdot (y' \times z'), \qquad \Rightarrow \qquad \det R(U) = 1 x⋅(y×z)=x′⋅(y′×z′),⇒detR(U)=1
说明
x′⋅(y′×z′)=(detA)x⋅(y×z) \purple{x' \cdot (y' \times z')} = (\det A) x \cdot (y \times z) x′⋅(y′×z′)=(detA)x⋅(y×z)
变换前后的有向体积可以用 tr\operatorname{tr}tr 表达
x′⋅(y′×z′)=12itrx^′y^′z^′=12itrUx^U−1Uy^U−1Uz^U−1\purple{x' \cdot (y' \times z')} = \frac{1}{2i}\operatorname{tr}\hat x' \hat y' \hat z' = \frac{1}{2i}\operatorname{tr} U\hat x U^{-1} U\hat yU^{-1} U\hat z U^{-1}x′⋅(y′×z′)=2i1trx^′y^′z^′=2i1trUx^U−1Uy^U−1Uz^U−1
=12itrx^y^z^=x⋅(y×z) = \frac{1}{2i}\operatorname{tr} \hat x \hat y \hat z = x \cdot (y \times z) =2i1trx^y^z^=x⋅(y×z)
x′⋅(y′×z′)=detR(U) [x⋅(y×z)]=x⋅(y×z) x' \cdot (y' \times z') = \det R(U) ~ [x \cdot (y \times z)] = x \cdot (y \times z) x′⋅(y′×z′)=detR(U) [x⋅(y×z)]=x⋅(y×z)
R:SU(2)→SO(3),R(U)ab=12tr(U−1σaUσb)R: SU(2) \to SO(3), \qquad R(U)_{ab} = \frac{1}{2} \operatorname{tr} (U^{-1}\sigma_a U \sigma_b)R:SU(2)→SO(3),R(U)ab=21tr(U−1σaUσb)
特殊例子 ■，
R(U(e⃗3,ω))ab=(cosωsinω0−sinωcosω0001)=R(e⃗3,ω)R(U(\vec e_3, \omega))_{ab} = \begin{pmatrix} \cos \omega & \sin \omega & 0\\ - \sin \omega & \cos \omega & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = R(\vec e_3, \omega)R(U(e3,ω))ab=cosω−sinω0sinωcosω0001=R(e3,ω)
R(U(e⃗2,ω))ab=(cosω0−sinω010sinω0cosω)=R(e⃗2,ω)R(U(\vec e_2, \omega))_{ab} = \begin{pmatrix} \cos \omega & 0 & - \sin \omega\\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \omega & 0 & \cos \omega\\ \end{pmatrix} = R(\vec e_2, \omega)R(U(e2,ω))ab=cosω0sinω010−sinω0cosω=R(e2,ω)
完备性关系/Fierz 恒等式
∑a=13(σa)αβ(σa)γδ=−δαβδγδ+2δβγδαδ\sum_{a = 1}^{3} (\sigma_a)_{\alpha \beta} (\sigma_{a})_{\gamma \delta} = - \delta_{\alpha \beta}\delta_{\gamma \delta} + 2 \delta_{\beta \gamma} \delta_{\alpha \delta}a=1∑3(σa)αβ(σa)γδ=−δαβδγδ+2δβγδαδ
方程两边可以 作用 在任何的 无迹矩阵 XδγX_{\delta \gamma}Xδγ 上，
∑γδ[12∑a=13(σa)αβ(σa)γδ]Xδγ=12∑γδ(−δαβδγδ+2δβγδαδ)Xδγ\sum_{\gamma \delta} \left[{\frac{1}{2}\sum_{a = 1}^3 (\sigma_a)_{\alpha \beta} (\sigma_a)_{\green{\gamma} \orange{\delta}}}\right] X_{\orange{\delta} \green{\gamma}} = \frac{1}{2}\sum_{\gamma \delta} (- \delta_{\alpha \beta}\delta_{\gamma \delta} + 2 \delta_{\beta \gamma} \delta_{\alpha \delta})X_{\delta \gamma}γδ∑[21a=1∑3(σa)αβ(σa)γδ]Xδγ=21γδ∑(−δαβδγδ+2δβγδαδ)Xδγ
=12∑γδ(0+2δβγδαδXδγ)=Xαβ= \frac{1}{2}\sum_{\gamma \delta} (0 + 2 \delta_{\beta \gamma} \delta_{\alpha \delta} X_{\delta \gamma}) = X_{\alpha\beta}=21γδ∑(0+2δβγδαδXδγ)=Xαβ
完备性
∑BIABXB=XA\sum_B I_{AB} X_B = X_A B∑IABXB=XA
对比量子力学中的完备性关系
∑i∣i⟩⟨i∣=1⇒∑i∣i⟩⟨i∣∣ψ⟩=∣ψ⟩ \sum_{i} | i \rangle \langle i | = \mathbf{1} \quad\Rightarrow\quad \sum_i |i\rangle \langle i| |\psi\rangle = |\psi\rangle i∑∣i⟩⟨i∣=1⇒i∑∣i⟩⟨i∣∣ψ⟩=∣ψ⟩
定理：映射 R:SU(2)→SO(3)R: SU(2) \to SO(3)R:SU(2)→SO(3) 是 同态。
R(U1)abR(U2)bc=12tr(U1−1σaU1σb)12tr(U2−1σbU2σc)= [12(U1−1σaU1)αβ(σb)βα][12(σb)γδ(U2σcU2−1)δγ]= [12(U1−1σaU1)αβ][12(U2σcU2−1)δγ](−δαβδγδ+2δαγδβδ)\begin{align*} & \ R(U_1)_{ab} R(U_2)_{bc} = \purple{\frac{1}{2}\operatorname{tr}(U_1^{-1} \sigma_a U_1 \sigma_b)} \green{\frac{1}{2}\operatorname{tr}(U_2^{-1} \sigma_b U_2 \sigma_c)}\\ = & \ \purple{\left[\frac{1}{2} (U_1^{-1} \sigma_a U_1)_{\alpha \beta} (\sigma_b)_{\beta \alpha}\right]} \green{\left[\frac{1}{2} (\sigma_b)_{\gamma \delta} (U_2 \sigma_c U_2^{-1})_{\delta \gamma}\right]}\\ = & \ \left[\frac{1}{2} (U_1^{-1} \sigma_a U_1)_{\alpha \beta} \right] \left[\frac{1}{2} (U_2 \sigma_c U_2^{-1})_{\delta \gamma}\right] ( \red{- \delta_{\alpha \beta}\delta_{\gamma \delta}} + \purple{2 \delta_{\alpha \gamma} \delta_{\beta \delta}}) \end{align*} == R(U1)abR(U2)bc=21tr(U1−1σaU1σb)21tr(U2−1σbU2σc) [21(U1−1σaU1)αβ(σb)βα][21(σb)γδ(U2σcU2−1)δγ] [21(U1−1σaU1)αβ][21(U2σcU2−1)δγ](−δαβδγδ+2δαγδβδ)
证明 化简
= −12(U1−1σaU1)αα12(U2−1σcU2)γγ+12(U1−1σaU1)αβ(U2σcU2−1)βα= 12tr(U1−1σaU1)12tr(U2−1σcU2)+12(U1−1σaU1)αβ(U2σcU2−1)βα= 12tr(U1−1σaU1U2σcU2−1)=12tr((U1U2)−1σaU1U2σc)= R(U1U2)ac \begin{align*} = & \ \red{- \frac{1}{2} (U_1^{-1} \sigma_a U_1)_{\alpha \alpha} \frac{1}{2}(U_2^{-1} \sigma_c U_2)_{\gamma \gamma}} + \purple{\frac{1}{2} (U_1^{-1}\sigma_a U_1)_{\alpha \beta} (U_2 \sigma_c U_2^{-1})_{\beta \alpha}}\\ = & \ \frac{1}{2}\operatorname{tr}(U_1^{-1} \sigma_a U_1)\frac{1}{2}\operatorname{tr}(U_2^{-1} \sigma_c U_2) + \frac{1}{2} (U_1^{-1}\sigma_a U_1)_{\alpha \beta} (U_2 \sigma_c U_2^{-1})_{\beta \alpha}\\ = & \ \frac{1}{2}\operatorname{tr}\Big(U_1^{-1} \sigma_a U_1U_2 \sigma_c U_2^{-1} \Big) = \frac{1}{2}\operatorname{tr}\Big((U_1U_2)^{-1} \sigma_a U_1U_2 \sigma_c \Big)\\ = & \ R(U_1 U_2)_{ac} \end{align*} ==== −21(U1−1σaU1)αα21(U2−1σcU2)γγ+21(U1−1σaU1)αβ(U2σcU2−1)βα 21tr(U1−1σaU1)21tr(U2−1σcU2)+21(U1−1σaU1)αβ(U2σcU2−1)βα 21tr(U1−1σaU1U2σcU2−1)=21tr((U1U2)−1σaU1U2σc) R(U1U2)ac
定理：对任意 U(n⃗,ω)∈SU(2)U(\vec n, \omega) \in SU(2)U(n,ω)∈SU(2) 都有 R(U(n⃗,ω))=R(n⃗,ω)R(U(\vec n, \omega)) = R(\vec n, \omega)R(U(n,ω))=R(n,ω)
说明 可以通过死算证明。比如先算出
R(U(n⃗,ω))ab=cosωδab−(cosω−1)nanb+sinωncϵabcR(U(\vec n, \omega))_{ab} = \cos \omega \delta_{ab} - (\cos \omega - 1)n_a n_b + \sin \omega n_c \epsilon_{abc} R(U(n,ω))ab=cosωδab−(cosω−1)nanb+sinωncϵabc
然后论证这个就是 R(n⃗,ω)R(\vec n, \omega)R(n,ω)。或者直接用电脑验证。
例子：U=1U = \mathbf{1}U=1 在 RRR 映射下得到
R(+1)=12tr1−1σa1σb=12trσaσb=12trδab1=δab=13×3R(+\mathbf{1}) = \frac{1}{2} \operatorname{tr} \mathbf{1}^{-1} \sigma_a \mathbf{1} \sigma_b = \frac{1}{2} \operatorname{tr}\sigma_a \sigma_b = \frac{1}{2}\operatorname{tr}\delta_{ab}\mathbf{1} = \delta_{ab} = \mathbf{1}_{3 \times 3}R(+1)=21tr1−1σa1σb=21trσaσb=21trδab1=δab=13×3
例子：U=−1U = - \mathbf{1}U=−1 在 RRR 映射下得到
R(−1)=12tr(−1)−1σa(−1)σb=12trσaσb=12trδab1=13×3 R( - \mathbf{1}) = \frac{1}{2} \operatorname{tr} ( - \mathbf{1})^{-1} \sigma_a ( - \mathbf{1}) \sigma_b = \frac{1}{2} \operatorname{tr}\sigma_a \sigma_b = \frac{1}{2}\operatorname{tr}\delta_{ab}\mathbf{1} = \mathbf{1}_{3 \times 3} R(−1)=21tr(−1)−1σa(−1)σb=21trσaσb=21trδab1=13×3
还有没有别的元素属于 kerR\operatorname{ker}RkerR？
对于 ω∈[0,2π]\omega \in [0,2\pi]ω∈[0,2π]
R(U(n⃗,ω))=R(n⃗,ω)=13×3⇒ω=0,2πR(U(\vec n, \omega)) = R(\vec n, \omega) = \mathbf{1}_{3 \times 3} \quad\Rightarrow\quad \omega = 0, 2\pi R(U(n,ω))=R(n,ω)=13×3⇒ω=0,2π
于是
kerR={±12×2}=Z2 \operatorname{ker}R = \{ \pm \mathbf{1}_{2 \times 2}\} = \mathbb{Z}_2 kerR={±12×2}=Z2
就是南北极；自成共轭类的两个元素
既然 R(U(n⃗,ω))=R(n⃗,ω)R(U(\vec n, \omega)) = R(\vec n, \omega)R(U(n,ω))=R(n,ω)，总可以通过穷尽所有的 n⃗,ω\vec n, \omegan,ω 获取所有的 SO(3)SO(3)SO(3) 元素，因此 RRR 满射
同态核定理：SO(3)=SU(2)/kerR=SU(2)/Z2SO(3) = SU(2)/\operatorname{ker}R = SU(2) / \mathbb{Z}_2SO(3)=SU(2)/kerR=SU(2)/Z2。
陪集 SO(3)SO(3)SO(3) 其实是 SU(2)SU(2)SU(2) 中子群 Z2\mathbb{Z}_2Z2 的陪集空间。
R:SU(2)→SO(3)R: SU(2) \to SO(3)R:SU(2)→SO(3) 是多对一的同态
已知 U,−UU, -UU,−U 对应相同 SO(3)SO(3)SO(3) 元素
到底是几对一？
12trU−1σaUσb=12tr(−U)−1σa(−U)σb \frac{1}{2}\operatorname{tr}U^{-1} \sigma_a U \sigma_b = \frac{1}{2}\operatorname{tr}(-U)^{-1} \sigma_a (-U) \sigma_b 21trU−1σaUσb=21tr(−U)−1σa(−U)σb
R(n⃗,ω)=R(U(n⃗,ω))=R(−U(n⃗,ω)) R(\vec n, \omega) = R(U(\vec n, \omega)) = R(- U(\vec n, \omega)) R(n,ω)=R(U(n,ω))=R(−U(n,ω))
对径点视同
U=x41+i∑a=13xaσa,−U=−x41+i∑a=13(−xa)σaU = x_4 \mathbf{1} + i\sum_{a = 1}^{3}x_a\sigma_a, \qquad -U = - x_4 \mathbf{1} + i\sum_{a = 1}^{3} (- x_a)\sigma_aU=x41+ia=1∑3xaσa,−U=−x41+ia=1∑3(−xa)σa
因此，若 U∼(x1,…,x4)∈S3U \sim (x_1, \ldots, x_4) \in S^3U∼(x1,…,x4)∈S3，−U∼−(x1,…,x4)∈S3-U \sim -(x_1, \ldots, x_4) \in S^3−U∼−(x1,…,x4)∈S3。
换言之，在几何上，UUU 与 −U-U−U 互为 对径点。
2:1 同态映射 RRR 相当于是把 对径点 (x1,…,x4)(x_1, \ldots, x_4)(x1,…,x4) 与 (−x1,…,−x4)(-x_1, \ldots, -x_4)(−x1,…,−x4) 视同为 同一点 R(U)∈SO(3)R(U) \in SO(3)R(U)∈SO(3)。
R(+U(n⃗,ω))= R(n⃗,ω)R(−U(n⃗,ω))= R(U(−n⃗,2π−ω))=R(−n⃗,2π−ω) \begin{align*} R(\purple{+ U(\vec n, \omega)}) = & \ \purple{R(\vec n, \omega)}\\ R(\red{- U(\vec n, \omega)}) = & \ R(U(-\vec n, 2\pi - \omega)) = \red{R(-\vec n, 2\pi - \omega)} \end{align*} R(+U(n,ω))=R(−U(n,ω))= R(n,ω) R(U(−n,2π−ω))=R(−n,2π−ω)
R(U(n⃗,ω))=R(n⃗,ω)=R(−n⃗,2π−ω)=R(−U(n⃗,ω)) R(U(\vec n, \omega)) = \purple{R(\vec n, \omega)} = \red{R(-\vec n, 2\pi - \omega)} = R(-U(\vec n, \omega)) R(U(n,ω))=R(n,ω)=R(−n,2π−ω)=R(−U(n,ω))
全程跟踪
选定一个 n⃗\vec nn，让 ω\omegaω 从 000 缓慢增长到 4π4\pi4π
U(n⃗,ω)U(\vec n, \omega)U(n,ω) 转「两圈」 (4π4\pi4π) 才回到出发点。
H≔{U(e⃗3,ω) ∣ all ω∈R}H \coloneqq \{U(\vec e_3, \omega) \ | \ \text{all} \ \omega \in \mathbb{R}\} H:={U(e3,ω) ∣ all ω∈R}
矩阵
代入到三角表达式，
U(e⃗3,ω)=(eiω/200e−iω/2)U(\vec e_3, \omega) = \begin{pmatrix} e^{i\omega/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\omega/2} \end{pmatrix}U(e3,ω)=(eiω/200e−iω/2)
可以直接验算乘法、取逆封闭性
U(e⃗3,ω1)U(e⃗3,ω2)=U(e⃗3,ω1+ω2),U(e⃗3,−ω)=U(e⃗3,ω)−1U(\vec e_3, \omega_1)U(\vec e_3, \omega_2) = U(\vec e_3, \omega_1 + \omega_2), \quad U(\vec e_3, -\omega) = U(\vec e_3, \omega)^{-1}U(e3,ω1)U(e3,ω2)=U(e3,ω1+ω2),U(e3,−ω)=U(e3,ω)−1
因此 HHH 形成 SU(2)SU(2)SU(2) 中的 子群。
选定 n⃗=e⃗3\vec n = \vec e_3n=e3
对于 ω1,ω2∈[0,4π)\omega_1, \omega_2 \in [0, 4\pi)ω1,ω2∈[0,4π)：
ω1≠ω2,⇒U(e⃗3,ω1)≠U(e⃗3,ω2) \omega_1 \ne \omega_2, \qquad \Rightarrow \qquad U(\vec e_3, \omega_1) \ne U(\vec e_3, \omega_2) ω1=ω2,⇒U(e3,ω1)=U(e3,ω2)
U(e⃗3,4π)=U(e⃗3,0)U(\vec e_3, 4\pi) = U(\vec e_3, 0)U(e3,4π)=U(e3,0)
U(e⃗3,4π+ω)=U(e⃗3,ω)U(\vec e_3, 4\pi + \omega) = U(\vec e_3, \omega)U(e3,4π+ω)=U(e3,ω), ∀ω\forall \omega∀ω
HHH 同构于 U(1)U(1)U(1) 群
更一般地，选定任何 n⃗\vec nn，{U(n⃗,ω)}\{U(\vec n, \omega)\}{U(n,ω)} 都形成一个 U(1)U(1)U(1) 群，可以记作 U(1)n⃗U(1)_{\vec n}U(1)n。
封闭性
可以利用指数表示的三角表达式验证乘法封闭性和取逆封闭性。
SU(2)SU(2)SU(2) 中有 无穷多 个 U(1)U(1)U(1) 子群。
作为对比，尽管 Z2\mathbb{Z}_2Z2 比 U(1)U(1)U(1) 小，但 SU(2)SU(2)SU(2) 里面只有一个 Z2\mathbb{Z}_2Z2 子群
定理：SU(2)SU(2)SU(2) 中所有 U(1)U(1)U(1) 子群相互 共轭
U(n⃗,ω)=X(θ,φ)−1U(e⃗3,ω)X(θ,φ)U(\vec n, \omega) = X(\theta, \varphi)^{-1} U(\vec e_3, \omega) X(\theta, \varphi) U(n,ω)=X(θ,φ)−1U(e3,ω)X(θ,φ)
{U(n⃗,ω)}={X(θ,φ)−1U(e⃗3,ω)X(θ,φ)}=X(θ,φ)−1{U(e⃗3,ω)}X(θ,φ)\{U(\vec n, \omega)\} = \{X(\theta, \varphi)^{-1} U(\vec e_3, \omega) X(\theta, \varphi)\} = X(\theta, \varphi)^{-1} \{U(\vec e_3, \omega) \}X(\theta, \varphi) {U(n,ω)}={X(θ,φ)−1U(e3,ω)X(θ,φ)}=X(θ,φ)−1{U(e3,ω)}X(θ,φ)
之前论证 ω\omegaω 相同的 U(n⃗,ω)U(\vec n, \omega)U(n,ω) 同属一个共轭类，用的是同样的 XXX
考虑 U(1)U(1)U(1) 子群
U(1)={U(e⃗3,ω) ∣ ω∈[0,4π]}U(1) = \{U(\vec e_3, \omega) \ | \ \omega \in [0, 4\pi]\} U(1)={U(e3,ω) ∣ ω∈[0,4π]}
尝试计算陪集空间 SU(2)/U(1)SU(2)/U(1)SU(2)/U(1)
{uU(1) ∣ all u∈SU(2)}or{U(1)u ∣ all u∈SU(2)}\{u U(1) \ | \ \text{all}~u \in SU(2)\} \quad \text{or} \quad \{U(1) u \ | \ \text{all}~u \in SU(2)\} {uU(1) ∣ all u∈SU(2)}or{U(1)u ∣ all u∈SU(2)}
任选 SU(2)SU(2)SU(2) 中的一个确定的元素
ua,b=(ab−bˉaˉ),∣a∣2+∣b∣2=1\green{u_{a,b} = \begin{pmatrix} a & b\\ -\bar b & \bar a \end{pmatrix}, \qquad |a|^2 + |b|^2 = 1} ua,b=(a−bˉbaˉ),∣a∣2+∣b∣2=1
a=0a = 0a=0 or b=0b = 0b=0
复数 a,ba, ba,b 其中 一者可以为零，比如 a=0a = 0a=0，b=eiφb = e^{i \varphi}b=eiφ，或者 a=eiφ,b=0a = e^{i \varphi}, b = 0a=eiφ,b=0。
但 不能同时为零。
构造右陪集 U(1)ua,bU(1) u_{a,b}U(1)ua,b
{(ei2ωe−i2ω)(ab−bˉaˉ)=(ei2ωaei2ωb−e−i2ωbˉe−i2ωaˉ) ∣ ω∈[0,4π]}\left\{ \begin{pmatrix} e^{\frac{i}{2}\omega} \\ & e^{- \frac{i}{2}\omega} \\ \end{pmatrix} \green{\begin{pmatrix} a & b\\ -\bar b & \bar a \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} e^{\frac{i}{2}\omega} a & e^{\frac{i}{2}\omega}b\\ - e^{- \frac{i}{2}\omega}\bar b & e^{- \frac{i}{2}\omega} \bar a \end{pmatrix} \ | \ \omega \in [0, 4\pi] \right\}{(e2iωe−2iω)(a−bˉbaˉ)=(e2iωa−e−2iωbˉe2iωbe−2iωaˉ) ∣ ω∈[0,4π]}
陪集内的群元 uuu 的矩阵元 u11=ei2ωau_{11} = e^{\frac{i}{2}\omega}au11=e2iωa, u12=ei2ωbu_{12} = e^{\frac{i}{2}\omega}bu12=e2iωb
结论 1：陪集中的所有元素 uuu 有一个共同特征
u11/u12=a/bu_{11}/u_{12} = a/b u11/u12=a/b
结论 2：随着 a,ba, ba,b 变动，u∈U(1)ua,bu \in U(1)u_{a,b}u∈U(1)ua,b 也变动，且 u11/u12u_{11}/u_{12}u11/u12 可以取遍所有 C∪{∞}\mathbb{C}\cup \{\infty\}C∪{∞}
u11/u12u_{11}/u_{12}u11/u12 的取值范围
当 b=0b = 0b=0，必然有 a≠0a \ne 0a=0，此时 u11/u12=a/b=∞u_{11}/u_{12} = a/b = \inftyu11/u12=a/b=∞。
当 a=0a = 0a=0，必然有 b≠0b \ne 0b=0，，此时 u11/u12=a/b=0u_{11}/u_{12} = a/b = 0u11/u12=a/b=0。
∣a∣2+∣b∣2=1|a|^2 + |b|^2 = 1 ∣a∣2+∣b∣2=1
a=r1+r2ei(φ+χ),b=11+r2eiχ,∀χ a = \frac{r}{\sqrt{1 + r^2}} e^{i (\varphi + \chi)}, \qquad b = \frac{1}{\sqrt{1 + r^2}} e^{i \chi}, \qquad \forall \chi a=1+r2rei(φ+χ),b=1+r21eiχ,∀χ
结论 3：倘若 u∈SU(2)u \in SU(2)u∈SU(2) 满足 u11/u12=a/b∈C∪∞u_{11}/u_{12} = a/b \in \mathbb{C}\cup \inftyu11/u12=a/b∈C∪∞，使得 ∣a∣2+∣b∣2=1|a|^2 + |b|^2 = 1∣a∣2+∣b∣2=1，则 u∈U(1)ua,bu \in U(1)u_{a,b}u∈U(1)ua,b
分析
u=(ei2ωaei2ωb−e−i2ωbˉe−i2ωaˉ)u = \begin{pmatrix} e^{\frac{i}{2}\omega} a & e^{\frac{i}{2}\omega}b\\ - e^{- \frac{i}{2}\omega}\bar b & e^{- \frac{i}{2}\omega} \bar a \end{pmatrix} u=(e2iωa−e−2iωbˉe2iωbe−2iωaˉ)
证明 u∈U(1)ua,bu \in U(1)u_{a,b}u∈U(1)ua,b
u11=λa,u12=λb u_{11} = \lambda a, \qquad u_{12} = \lambda b u11=λa,u12=λb
然而，u∈SU(2)u \in SU(2)u∈SU(2) 要求
∣u11∣2+∣u12∣2=1=∣λ∣2(∣a∣2+∣b∣2)=1 |u_{11}|^2 + |u_{12}|^2 = 1 = |\lambda|^2 (|a|^2 + |b|^2) = 1 ∣u11∣2+∣u12∣2=1=∣λ∣2(∣a∣2+∣b∣2)=1
因此 ∣λ∣=1|\lambda| = 1∣λ∣=1，即 λ=ei2ω\lambda = e^{\frac{i}{2}\omega}λ=e2iω for some ω\omegaω。
u=(λaλb−λb‾λa‾)=(ei2ωaei2ωb−e−i2ωbˉe−i2ωaˉ)u = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b\\ - \overline{\lambda b} & \overline{\lambda a} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\frac{i}{2}\omega} a & e^{\frac{i}{2}\omega}b\\ - e^{- \frac{i}{2}\omega}\bar b & e^{- \frac{i}{2}\omega} \bar a \end{pmatrix}u=(λa−λbλbλa)=(e2iωa−e−2iωbˉe2iωbe−2iωaˉ)
倘若 b=0b = 0b=0，则 u11/u12=∞u_{11}/u_{12} = \inftyu11/u12=∞，因此必然 u12=0u_{12} = 0u12=0，使得 ∣u11∣=1|u_{11}| = 1∣u11∣=1
u=(eiω200e−iω2)u = \begin{pmatrix} e^{i\frac{\omega}{2}} & 0\\ 0 & e^{-i\frac{\omega}{2}} \end{pmatrix}u=(ei2ω00e−i2ω)
显然，u∈U(1)ua,b=0u \in U(1)u_{a,b = 0}u∈U(1)ua,b=0。
总而言之：
任何一个 陪集 确定一个 比值 a/ba/ba/b
任何一个 比值 a/ba/ba/b 同样确定一个 陪集
因此，
{陪集}=SU(2)/U(1)={所有可能的比值 a/b}=C∪{∞}=S2\{\text{陪集}\} = SU(2)/U(1) = \{\text{所有可能的比值} \ a/b\} = \mathbb{C} \cup \{\infty\} = S^2 {陪集}=SU(2)/U(1)={所有可能的比值 a/b}=C∪{∞}=S2
无穷远点
∣a∣2+∣b∣2=1|a|^2 + |b|^2 = 1∣a∣2+∣b∣2=1 说明 a,ba, ba,b 不能同时为零。当 b=0b = 0b=0 时，a/b=∞a/b = \inftya/b=∞。
Hopf fibration：
上述商集在数学物理中经常出现，也写成
S3/U(1)=S2=CP1S^3/U(1) = S^2 = \mathbb{C}P^1 S3/U(1)=S2=CP1
三维球面 S3S^3S3 可以看成是 CP1\mathbb{C}P^1CP1 上的一个 U(1)U(1)U(1)-主丛 (principal bundle)，称为 Hopf fibration。Hopf fibration 的存在，导致了同伦群的同构
πn(S3)=πn(S2),n=3,4,5,⋯\pi_n(S^3) = \pi_n(S^2), \qquad n = 3, 4, 5, \cdots πn(S3)=πn(S2),n=3,4,5,⋯
特别地，π3(S3)=π3(S2)=Z\pi_3(S^3) = \pi_3(S^2) = \mathbb{Z}π3(S3)=π3(S2)=Z。
任选一个单位矢量 n⃗∈R3\vec n \in \mathbb{R}^3n∈R3，考虑集合
Hn⃗≔{R(n⃗,ω) ∣ ω∈[0,2π]}H_{\vec n} \coloneqq \{R(\vec n, \omega)\ | \ \omega\in [0, 2\pi] \} Hn:={R(n,ω) ∣ ω∈[0,2π]}
定义：对于任意 n⃗\vec nn，上述 Hn⃗H_{\vec n}Hn 实际是一个李群，同构于 SO(2)SO(2)SO(2)，记为 SO(2)n⃗SO(2)_{\vec n}SO(2)n
显然，给定 n⃗\vec nn，U(1)n⃗≤SU(2)U(1)_{\vec n} \le SU(2)U(1)n≤SU(2) 的 RRR-映像为
R({U(n⃗,ω) ∣ allω∈[0,4π]})= {R(U(n⃗,ω)) ∣ allω∈[0,4π]}={R(n⃗,ω) ∣ ω∈[0,2π]}= SO(2)n⃗\begin{align*} & \ R(\{U(\vec n, \omega) \ | \ \text{all} \omega \in [0, 4\pi]\})\\ = & \ \{R(U(\vec n, \omega)) \ | \ \text{all} \omega \in [0, 4\pi]\} = \{R(\vec n, \omega) \ | \ \omega \in [0,2\pi]\}\\ = & \ SO(2)_{\vec n} \end{align*}== R({U(n,ω) ∣ allω∈[0,4π]}) {R(U(n,ω)) ∣ allω∈[0,4π]}={R(n,ω) ∣ ω∈[0,2π]} SO(2)n
考虑 SO(2)n⃗≤SO(3)SO(2)_{\vec n} \le SO(3)SO(2)n≤SO(3)。
由于 R(±U(n⃗,ω))=R(n⃗,ω)R(\pm U(\vec n, \omega)) = R(\vec n, \omega)R(±U(n,ω))=R(n,ω)，计算 SO(2)n⃗SO(2)_{\vec n}SO(2)n 的原像，
R−1SO(2)n⃗= {U(n⃗,ω) ∣ ω∈[0,2π]}∪{−U(n⃗,ω) ∣ ω∈[0,2π]}= {U(n⃗,ω) ∣ ω∈[0,2π]}∪{U(−n⃗,2π−ω) ∣ ω∈[0,2π]}= {U(n⃗,ω) ∣ ω∈[0,2π]}∪{U(n⃗,ω−2π) ∣ ω∈[0,2π]}= {U(n⃗,ω) ∣ ω∈[0,2π]}∪{U(n⃗,ω) ∣ ω∈[2π,4π]}= {U(n⃗,ω) ∣ ω∈[0,4π]}=U(1)n⃗\begin{align*} & \ R^{-1} SO(2)_{\vec n}\\ = & \ \{U(\vec n, \omega) \ | \ \omega\in[0, 2\pi]\} \cup \{ - U(\vec n, \omega) \ | \ \omega\in[0, 2\pi]\}\\ = & \ \{U(\vec n, \omega) \ | \ \omega\in[0, 2\pi]\} \cup \{ U(- \vec n, 2\pi - \omega) \ | \ \omega\in[0, 2\pi]\}\\ = & \ \{U(\vec n, \omega) \ | \ \omega\in[0, 2\pi]\} \cup \{ U(\vec n, \omega - 2\pi) \ | \ \omega\in[0, 2\pi]\}\\ = & \ \{U(\vec n, \omega) \ | \ \omega\in[0, 2\pi]\} \cup \{U(\vec n, \omega) \ | \ \omega\in[2\pi, 4\pi]\}\\ = & \ \{U(\vec n, \omega) \ | \ \omega \in [0, 4\pi]\} {\color{orange}= U(1)_{\vec n}} \end{align*}===== R−1SO(2)n {U(n,ω) ∣ ω∈[0,2π]}∪{−U(n,ω) ∣ ω∈[0,2π]} {U(n,ω) ∣ ω∈[0,2π]}∪{U(−n,2π−ω) ∣ ω∈[0,2π]} {U(n,ω) ∣ ω∈[0,2π]}∪{U(n,ω−2π) ∣ ω∈[0,2π]} {U(n,ω) ∣ ω∈[0,2π]}∪{U(n,ω) ∣ ω∈[2π,4π]} {U(n,ω) ∣ ω∈[0,4π]}=U(1)n
U(n⃗,−ω)= U(−n⃗,ω)U(n⃗,ω∈[2π,4π])= U(n⃗,ω−4π∈[−2π,0])= U(−n⃗,4π−ω∈[0,2π])\begin{align*} U(\vec n, - \omega) = & \ U(- \vec n, \omega)\\ U(\vec n, \omega \in [2\pi, 4\pi]) = & \ U(\vec n, \omega - 4\pi \in [-2\pi, 0])\\ = & \ U(- \vec n, 4\pi - \omega \in [0, 2\pi]) \end{align*}U(n,−ω)=U(n,ω∈[2π,4π])== U(−n,ω) U(n,ω−4π∈[−2π,0]) U(−n,4π−ω∈[0,2π])
R(n⃗,ω∈[π,2π])= R(n⃗,2π−ω∈[0,π])= R(n⃗,ω+2π)\begin{align*} R(\vec n, \omega \in [\pi, 2\pi]) = & \ R(\vec n, 2\pi - \omega \in [0, \pi])\\ = & \ R(\vec n, \omega + 2\pi) \end{align*}R(n,ω∈[π,2π])== R(n,2π−ω∈[0,π]) R(n,ω+2π)
定理：对任意给定 n⃗\vec nn (注意 4π4\pi4π 而不是 2π2\pi2π)
Z^n≔{U(n⃗,4πnk) ∣ k=0,1,…,n−1}\widehat{\mathbb{Z}}_n \coloneqq \{U(\vec n, \frac{4\pi}{n} k) \ | \ k = 0, 1, \ldots, n - 1\} Zn:={U(n,n4πk) ∣ k=0,1,…,n−1}
构成 SU(2)SU(2)SU(2) 中的 Zn\mathbb{Z}_nZn 子群，也是 U(1)n⃗U(1)_{\vec n}U(1)n 的子群
Zn\mathbb{Z}_nZn
U(n⃗,4πnk1)U(n⃗,4πnk2)= U(n⃗,4πn(k1+k2))U(n⃗,4πn)n= U(n⃗,4πnn)=U(n⃗,4π)= 12×2\begin{align*} U(\vec n, \frac{4\pi}{n}k_1)U(\vec n, \frac{4\pi}{n}k_2) = & \ U(\vec n, \frac{4\pi}{n}(k_1 + k_2)) \\ U(\vec n, \frac{4\pi}{n})^n = & \ U(\vec n, \frac{4\pi}{n}n) = U(\vec n, 4\pi) = \ \mathbf{1}_{2\times 2} \end{align*}U(n,n4πk1)U(n,n4πk2)=U(n,n4π)n= U(n,n4π(k1+k2)) U(n,n4πn)=U(n,4π)= 12×2
定理：二阶循环子群 Z^2≤SU(2)\widehat{\mathbb{Z}}_2 \le SU(2)Z2≤SU(2) 是唯一的。
说明 作为一个 Z2\mathbb{Z}_2Z2 子群，Z^2={1,U(n⃗,ω)}\widehat{\mathbb{Z}}_2 = \{\mathbf{1}, U(\vec n, \omega)\}Z2={1,U(n,ω)}，且应有
U(n⃗,ω)2=U(n⃗,2ω)=1⇒ω=2πU(\vec n, \omega)^2 = U(\vec n, 2\omega) = \mathbf{1} \qquad \Rightarrow \qquad \omega = 2\pi U(n,ω)2=U(n,2ω)=1⇒ω=2π
不管 n⃗\vec nn 取什么方向，U(n⃗,2π)=−1U(\vec n, 2\pi) = - \mathbf{1}U(n,2π)=−1。
中心 Z^2≤SU(2)\widehat{\mathbb{Z}}_2 \le SU(2)Z2≤SU(2) 是 SU(2)SU(2)SU(2) 的中心子群。
定理：考虑同态 R:SU(2)→SO(3)R: SU(2) \to SO(3)R:SU(2)→SO(3)，对任意给定 n⃗\vec nn
R(Zn^≤SU(2))= {R(U(n⃗,4πnk)) ∣ k=0,1,…,n−1}= {R(n⃗,4πnk) ∣ k=0,1,…,n−1}\begin{align*} R (\widehat{\mathbb{Z}_n }\le SU(2)) = & \ \{R \Big(U(\vec n, \frac{4\pi}{n} k) \Big) \ | \ k = 0, 1, \ldots, n - 1\} \\ = & \ \{R(\vec n, \frac{4\pi}{n}k) \ | \ k = 0, 1, \ldots, n - 1\} \end{align*}R(Zn≤SU(2))== {R(U(n,n4πk)) ∣ k=0,1,…,n−1} {R(n,n4πk) ∣ k=0,1,…,n−1}
是 SO(3)SO(3)SO(3) 中的循环子群。
n=2n = 2n=2 当 n=2n = 2n=2，有 (注意 RRR 的 2π2\pi2π 周期性)
R(Z^2)={R(n⃗,0),R(n⃗,2π)}={13×3}R(\widehat{\mathbb{Z}}_2) = \{R(\vec n, 0), R(\vec n, 2\pi)\} = \{\mathbf{1}_{3 \times 3}\} R(Z2)={R(n,0),R(n,2π)}={13×3}
n=3n = 3n=3 当 n=3n = 3n=3，有 (利用 4π/3∈[0,2π]4\pi/3 \in [0, 2\pi]4π/3∈[0,2π]，8π/3−2π/3=2π8\pi/3 - 2\pi/3 = 2\pi8π/3−2π/3=2π)
R(Z^3)= {R(n⃗,0),R(n⃗,4π3),R(n⃗,8π3)}= {R(n⃗,0),R(n⃗,4π3),R(n⃗,2π3)}=Z3\begin{align*} R(\widehat{\mathbb{Z}}_3) = & \ \{R(\vec n, 0), R(\vec n, \frac{4\pi}{3}), R(\vec n, {\color{orange}\frac{8\pi}{3}})\}\\ = & \ \{R(\vec n, 0), R(\vec n, \frac{4\pi}{3}), R(\vec n, {\color{orange}\frac{2\pi}{3}})\} = \mathbb{Z}_3 \end{align*}R(Z3)== {R(n,0),R(n,34π),R(n,38π)} {R(n,0),R(n,34π),R(n,32π)}=Z3
R(Z^n)={R(n⃗,4πnk) ∣ k=0,1,…,n−1}R (\widehat{\mathbb{Z}}_n) = \{R(\vec n, \frac{4\pi}{n}k) \ | \ k = 0, 1, \ldots, n - 1\} R(Zn)={R(n,n4πk) ∣ k=0,1,…,n−1}
n=4n = 4n=4 当 n=4n = 4n=4，有 (注意 RRR 的 2π2\pi2π 周期性)
R(Z^4)= {R(n⃗,0),R(n⃗,π),R(n⃗,2π),R(n⃗,3π)}= {R(n⃗,0),R(n⃗,π)}=Z2\begin{align*} R(\widehat{\mathbb{Z}}_4) = & \ \{{\color{#005fa3}R(\vec n, 0)}, {\color{orange}R(\vec n, \pi)}, {\color{#005fa3}R(\vec n, 2\pi)}, {\color{orange}R(\vec n, 3\pi)}\}\\ = & \ \{R(\vec n, 0), R(\vec n, \pi)\} = \mathbb{Z}_2 \end{align*}R(Z4)== {R(n,0),R(n,π),R(n,2π),R(n,3π)} {R(n,0),R(n,π)}=Z2
R(Z^n)={Zn,n=oddZn/2,n=evenR(\widehat{\mathbb{Z}}_n) = \left \{ \begin{array}{cc} \mathbb{Z}_n, & n = \text{odd}\\ \mathbb{Z}_{n/2}, & n = \text{even} \end{array} \right.R(Zn)={Zn,Zn/2,n=oddn=even
R(Z^n)= {R(n⃗,4π2Nk) ∣ k=0,1,…,N−1,N,…,2N−1}= {R(n⃗,2πNk) ∣ k=0,1,…,N−1} ∪{R(n⃗,2πN(k+N)) ∣ k=0,1,…,N−1}= {R(n⃗,2πNk) ∣ k=0,…,N−1}=ZN≤SO(3)\begin{align*} R(\widehat{\mathbb{Z}}_n) = & \ \{R(\vec n, \frac{{\color{orange}4\pi}}{{\color{orange}2}N}k) \ | \ k = {\color{#005fa3}0, 1, \ldots, N - 1}, {\color{orange}N, \ldots, 2N - 1}\}\\ = & \ \{R(\vec n, \frac{2\pi}{N}k) \ | \ k = {\color{#005fa3}0, 1, \ldots, N - 1}\}\\ & \ \quad \cup \{R(\vec n, \frac{2\pi}{N}(k + N)) \ | \ k = {\color{orange}0, 1, \ldots, N - 1}\}\\ = & \ \{R(\vec n, \frac{2\pi}{N} k) \ | \ k = 0, \ldots, N - 1\} = \mathbb{Z}_N \le SO(3) \end{align*}R(Zn)=== {R(n,2N4πk) ∣ k=0,1,…,N−1,N,…,2N−1} {R(n,N2πk) ∣ k=0,1,…,N−1} ∪{R(n,N2π(k+N)) ∣ k=0,1,…,N−1} {R(n,N2πk) ∣ k=0,…,N−1}=ZN≤SO(3)
R(Z^n)={R(n⃗,4π2N+1k) ∣ k=0,…,N,N+1,…,2N}R(\widehat{\mathbb{Z}}_n) = \{R(\vec n, \frac{4\pi}{2N + 1}k) \ | \ k = {\color{#005fa3}0, \ldots, N}, {\color{orange}N + 1, \ldots, 2N}\} R(Zn)={R(n,2N+14πk) ∣ k=0,…,N,N+1,…,2N}
定理：对上述 Z^n={U(n⃗,4πnk)}≤SU(2)\widehat{\mathbb{Z}}_n = \{U(\vec n, \frac{4\pi}{n}k)\} \le SU(2)Zn={U(n,n4πk)}≤SU(2)，
证明 (续)
= {R(n⃗,2π2N+12k) ∣ k=0,…,N} ∪{R(n⃗,2π2N+12(k+N+1)) ∣ k=0,…,N−1}= {R(n⃗,2π2N+12k) ∣ k=0,…,N} ∪{R(n⃗,2π2N+1(2k+1)) ∣ k=0,…,N−1}\begin{align*} = & \ \{R(\vec n, \frac{2\pi}{2N + 1}2k) \ | \ k = 0, \ldots, N \}\\ & \ \qquad \cup \{R(\vec n, \frac{2\pi}{2N + 1} 2(k + {\color{orange}N + 1})) \ | \ k = {\color{orange}0, \ldots, N - 1} \}\\ = & \ \{R(\vec n, \frac{2\pi}{2N + 1}2k) \ | \ k = 0, \ldots, N \}\\ & \ \qquad \cup \{R(\vec n, \frac{2\pi}{2N + 1}(2k + 1)) \ | \ k = 0, \ldots, N - 1 \} \end{align*}== {R(n,2N+12π2k) ∣ k=0,…,N} ∪{R(n,2N+12π2(k+N+1)) ∣ k=0,…,N−1} {R(n,2N+12π2k) ∣ k=0,…,N} ∪{R(n,2N+12π(2k+1)) ∣ k=0,…,N−1}
证明 (续) 其中上面用了 2(k+N+1)=(2k+1)+(2N+1)2(k + N + 1) = (2k + 1) + (2N + 1)2(k+N+1)=(2k+1)+(2N+1)，
= {R(n⃗,2π2N+1K) ∣ K=0,…,2N}= Z2N+1≤SO(3)\begin{align*} = & \ \{R(\vec n, \frac{2\pi}{2N + 1}K) \ | \ K = 0, \ldots, 2N \}\\ = & \ \mathbb{Z}_{2N + 1} \le SO(3) \end{align*}== {R(n,2N+12πK) ∣ K=0,…,2N} Z2N+1≤SO(3)
可以看到，在 RRR 映射下，
Z^6={U(n⃗,4π6k) ∣ k=0,1,2,…,5}≤SU(2)\widehat{\mathbb{Z}}_6 = \{U(\vec n, \frac{4\pi}{6}k) \ | \ k = 0, 1, 2, \ldots, 5\} \le SU(2) Z6={U(n,64πk) ∣ k=0,1,2,…,5}≤SU(2)
与
Z^3={U(n⃗,4π3k) ∣ k=0,1,2}≤SU(2)\widehat{\mathbb{Z}}_3 = \{U(\vec n, \frac{4\pi}{3} k) \ | \ k = 0, 1, 2\} \le SU(2) Z3={U(n,34πk) ∣ k=0,1,2}≤SU(2)
都射到相同的 SO(3)SO(3)SO(3) 子群，
Z3={R(n⃗,2π3k) ∣ k=0,1,2}≤SO(3)\mathbb{Z}_3 = \{R(\vec n, \frac{2\pi}{3} k) \ | \ k = 0, 1, 2 \} \le SO(3) Z3={R(n,32πk) ∣ k=0,1,2}≤SO(3)
对于相同的 n⃗\vec nn，Z^6\widehat{\mathbb{Z}}_6Z6 与 Z3^\widehat{\mathbb{Z}_3}Z3 映射到同一个 SO(3)SO(3)SO(3) 的 Z3\mathbb{Z}_3Z3-子群，
R(Z^6)=Z3=R(Z^3)R(\widehat{\mathbb{Z}}_6) = \mathbb{Z}_3 = R(\widehat{\mathbb{Z}}_3) R(Z6)=Z3=R(Z3)
反过来有，
Z^6= R−1(Z3)=Z^3×{1,−1}或者Z^3= R−1(Z3)/{1,−1}\begin{align*} \widehat{\mathbb{Z}}_6 = & \ R^{-1}(\mathbb{Z}_3) = \widehat{\mathbb{Z}}_3 \times \{\mathbf{1}, - \mathbf{1}\}\\ \text{或者} \quad \widehat{\mathbb{Z}}_3 = & \ R^{-1}(\mathbb{Z}_3)/\{\mathbf{1}, - \mathbf{1}\} \end{align*}Z6=或者Z3= R−1(Z3)=Z3×{1,−1} R−1(Z3)/{1,−1}
-*Z^3×{1,−1}\widehat{\mathbb{Z}}_3 \times \{ \mathbf{1}, - \mathbf{1}\}Z3×{1,−1}** 利用 U(n⃗,ω±2π)=−U(n⃗,ω)=−1U(n⃗,ω)U(\vec n, \omega \pm 2\pi) = - U(\vec n, \omega) = - \mathbf{1} U(\vec n, \omega)U(n,ω±2π)=−U(n,ω)=−1U(n,ω)
Z^6= {U(n⃗,4π6k) ∣ k=0,1,…,5}缩写= {0,4π3,8π3}k=0,2,4∪{4π6,4π2,20π6}k=1,3,5= {0,4π3,8π3}∪{8π3−2π,0+2π,4π3+2π}= Z^3×{1,−1}\begin{align*} \widehat{\mathbb{Z}}_6 = & \ \{U(\vec n, \frac{4\pi}{6}k) \ | \ k = 0, 1, \ldots, 5\}\\ \text{缩写} = & \ \{0, \frac{4\pi}{3} , \frac{8\pi}{3}\}_{k = 0,2,4} \cup \{\frac{4\pi}{6}, \frac{4\pi}{2} , \frac{20\pi}{6}\}_{k = 1,3,5}\\ = & \ \{0, {\color{#005fa3}\frac{4\pi}{3}} , {\color{green}\frac{8\pi}{3}}\} \cup \{{\color{green}\frac{8\pi}{3}} - {\color{orange}2\pi}, 0 + {\color{orange}2\pi} , {\color{#005fa3}\frac{4\pi}{3}} + {\color{orange}2\pi}\}\\ = & \ \widehat{\mathbb{Z}}_3 \times \{\mathbf{1}, - \mathbf{1}\} \end{align*}Z6=缩写=== {U(n,64πk) ∣ k=0,1,…,5} {0,34π,38π}k=0,2,4∪{64π,24π,620π}k=1,3,5 {0,34π,38π}∪{38π−2π,0+2π,34π+2π} Z3×{1,−1}
定理：SU(2)SU(2)SU(2) 的有限子群 G^\widehat{G}G 均可以从 SO(3)SO(3)SO(3) 的有限子群 (ADE 子群) GGG 构造，只有两种可能，
G^=R−1(G),or when −1∈R−1(G),R−1(G)/{1,−1}\widehat{G} = R^{-1}(G), \quad \text{or when $-\mathbf{1} \in R^{-1}(G)$}, \quad R^{-1}(G)/\{\mathbf{1}, -\mathbf{1}\} G=R−1(G),or when −1∈R−1(G),R−1(G)/{1,−1}
与 SO(3)SO(3)SO(3) 有限子群类似，几乎任意给定类型都能够在 SU(2)SU(2)SU(2) 找到无穷多具体的不同子群。比如，可以任意选 n⃗\vec nn
Z^n≠2≔{U(n⃗,4πnk) ∣ k=0,1,…,n−1}\widehat{\mathbb{Z}}_{n \ne 2} \coloneqq \{U(\vec n, \frac{4\pi}{n} k) \ | \ k = 0, 1, \ldots, n - 1\} Zn=2:={U(n,n4πk) ∣ k=0,1,…,n−1}
定理：SU(2)SU(2)SU(2) 众多的非平凡有限子群中，正规子群只有 Z^2\widehat{\mathbb{Z}}_2Z2
考虑 GGG 对 MMM 的群作用。
倘若对 ∀x,x′∈M\forall x, x' \in M∀x,x′∈M，都存在 g∈Gg \in Gg∈G 使得
g⋅x=x′g \cdot x = x' g⋅x=x′
则称该群作用为可迁 (transitive) 作用。
定理：若 GGG 对 MMM 作用可迁，则 Ox=M\mathcal{O}_x = MOx=M，∀x∈M\forall x \in M∀x∈M
定理：若 GGG 对 MMM 作用可迁，则 Gx≃Gx′G_x \simeq G_{x'}Gx≃Gx′，对任意 x,x′∈Mx, x'\in Mx,x′∈M
定理：设 GGG 对 MMM 作用可迁，则对任意 x∈Mx \in Mx∈M，有
M=Ox=G/GxM = \mathcal{O}_x = G/G_x M=Ox=G/Gx
M=RM = \mathbb{R}M=R，G=R2={(a,b)}G = \mathbb{R}^2 = \{(a, b)\}G=R2={(a,b)}，作用为平移
(a,b)⋅x=x+a∈R应该是 R∀x∈R\underset{\text{应该是 } \mathbb{R}}{(a, b) \cdot x = x + a \in \mathbb{R}} \qquad \forall x \in \mathbb{R} 应该是 R(a,b)⋅x=x+a∈R∀x∈R
显然作用可迁，且对任意 x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R Gx=RG_x = \mathbb{R}Gx=R，从而
M=R=R2/RM = \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 / \mathbb{R} M=R=R2/R
M=S2M = S^2M=S2，G=SO(3)G = SO(3)G=SO(3)，作用为转动
取 N∈S2N \in S^2N∈S2，相应迷向子群 $G_N = SO(2) = $ {绕 x3x^3x3 轴转动}
显然作用可迁：
M=S2=G/GN=SO(3)/SO(2)M = S^2 = G/G_N = SO(3)/SO(2) M=S2=G/GN=SO(3)/SO(2)
更一般地，
Sn=SO(n+1)/SO(n)n=1,2,3,4,…S^n = SO(n + 1)/SO(n) \qquad n = 1, 2, 3, 4, \ldots Sn=SO(n+1)/SO(n)n=1,2,3,4,…
G=SU(2)G = SU(2)G=SU(2) 对 M=S2M = S^2M=S2 也有可迁作用，
U(n⃗,ω)⋅x≔R(n⃗,ω)x∀x∈S2U(\vec n, \omega) \cdot x \coloneqq R(\vec n, \omega) x \qquad \forall x \in S^2 U(n,ω)⋅x:=R(n,ω)x∀x∈S2
对于 NNN，GN={U(e⃗3,ω)}=U(1)G_N = \{U(\vec e_3, \omega)\} = U(1)GN={U(e3,ω)}=U(1)
因此
M=S2=G/GN=SU(2)/U(1)M = S^2 = G/G_N = SU(2)/U(1) M=S2=G/GN=SU(2)/U(1)
考虑一个经典物理理论
一个物理理论可能多个真空/基态解：构成一个模空间 (moduli space) M\mathcal{M}M
倘若物理理论具有对称性 GGG，则 GGG 对 M\mathcal{M}M 有群作用：对称变换把一个真空解变成另一个真空解
对称变换 对称变换不改变总能量。
在低能时，系统会选择一个真空 x∈Mx \in \mathcal{M}x∈M
一般而言，GGG 对 M\mathcal{M}M 的作用会移动/改变真空：
g⋅x≠xg \cdot x \ne x g⋅x=x
人们把这个现象称为对称性 GGG 不保持真空 xxx，对称性 GGG 发生自发破缺。
GGG 中可能有子群并不改变 xxx：迷向子群 Gx≤GG_x \le GGx≤G，人们称对称性 GGG 破缺到 GxG_xGx。
通常 GGG 对 M\mathcal{M}M 作用可迁：
M=G/Gx\mathcal{M} = G/G_x M=G/Gx
Goldstone 定理：当连续对称性 GGG 自发破缺到 GxG_xGx，则会出现 dimG−dimGx=dimM\dim G - \dim G_x = \dim \mathcal{M}dimG−dimGx=dimM 个无质量标量粒子，称为Goldstone bosons。
例子：复标量场 ϕ\phiϕ，势能 V(ϕ)=(∣ϕ∣2−v)2V(\phi) = (|\phi|^2 - v)^2V(ϕ)=(∣ϕ∣2−v)2
真空流形：M={ϕ∈C ∣ ∣ϕ∣=v}\mathcal{M} = \{\phi \in \mathbb{C} \ | \ |\phi| = v \}M={ϕ∈C ∣ ∣ϕ∣=v}
对称性：U(1)U(1)U(1)
选择任何一个真空：ϕ=veiθ\phi = v e^{i \theta}ϕ=veiθ
U(1)→{e}U(1) \to \{e\}U(1)→{e}，对称性完全破缺
有 1=dimU(1)−dim{e}1 = \dim U(1) - \dim \{e\}1=dimU(1)−dim{e} 个 Goldstone 玻色子。
多体系统的相变现象有时伴随对称性破缺
液→\to→固一级相变相变：连续平移对称性 →\to→ 离散平移，转动对称性 →\to→ SO(3)SO(3)SO(3) 离散子群
气→\to→液、Ising 模型连续相变 (Landau 理论)：临界温度时对称性自发破缺
Schur 定理：设 GGG 是群 (有限或无限)。
R2(g)X=XR1(g)∀g∈G\mathcal{R}_2(g) X = X \mathcal{R}_1(g) \qquad \forall g \in G R2(g)X=XR1(g)∀g∈G
则有如下结论，
舒尔引理：设 R\mathcal{R}R 是 GGG 的不可约、复表示，表示空间为 VVV。设 X:V→VX: V \to VX:V→V 是 VVV 到自身的线性映射，且满足
R(g)X=XR(g)∀g∈G\mathcal{R}(g)X = X \mathcal{R}(g) \qquad \forall g \in G R(g)X=XR(g)∀g∈G
则 X=λidX = \lambda \operatorname{id}X=λid，λ∈C\lambda \in \mathbb{C}λ∈C (包括 λ=0\lambda = 0λ=0，即 X=0X = 0X=0)。
表示矩阵 R(g)\mathcal{R}(g)R(g) 的矩阵元
R(g)ei=∑jnR(g)ijejn=dimR\mathcal{R}(g) e_i = \sum_{j}^{n} \mathcal{R}(g)_{ij} e_j \qquad n = \dim \mathcal{R} R(g)ei=j∑nR(g)ijejn=dimR
特征标
χR(g)≔trR(g)\chi_\mathcal{R}(g) \coloneqq \operatorname{tr} \mathcal{R}(g) χR(g):=trR(g)
f(g)=∑α∑ijfijαRij(α)(g)f(g) = \sum_{\alpha}\sum_{ij} f_{ij}^\alpha \mathcal{R}^{(\alpha)}_{ij}(g) f(g)=α∑ij∑fijαRij(α)(g)
f([g])=∑αfαχR(α)([g])f([g]) = \sum_{\alpha} f_\alpha \chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}([g]) f([g])=α∑fαχR(α)([g])
有限群表示矩阵元与特征标的正交归一关系
⟨Ri~j~(β)∣Rij(α)⟩=1∣G∣∑gR(α)(g)ijR(β)(g)i~j~‾=1dimR(α)δαβδii~δjj~\langle \mathcal{R}^{(\beta)}_{\tilde i \tilde j}|\mathcal{R}^{(\alpha)}_{ij}\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_g \mathcal{R}^{(\alpha)}(g)_{ij} \overline{\mathcal{R}^{(\beta)}(g)_{\tilde i \tilde j}} = \frac{1}{\dim \mathcal{R}^{(\alpha)}}\delta_{\alpha \beta} \delta_{i\tilde i}\delta_{j\tilde j } ⟨Ri~j~(β)∣Rij(α)⟩=∣G∣1g∑R(α)(g)ijR(β)(g)i~j~=dimR(α)1δαβδii~δjj~
⟨χR(α)∣χR(β)⟩=1∣G∣∑gχR(α)(g)χR(β)(g)‾=δαβ\langle \chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}}|\chi_{\mathcal{R}^{(\beta)}}\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g}\chi_{\mathcal{R}^{(\alpha)}} (g) \overline{\chi_{\mathcal{R}^{(\beta)}}(g)} = \delta_{\alpha \beta} ⟨χR(α)∣χR(β)⟩=∣G∣1g∑χR(α)(g)χR(β)(g)=δαβ
判断表示是否不可约表示的充要条件
⟨χR∣χR⟩=1∣G∣∑g∣χR(g)∣2=1\langle \chi_\mathcal{R}|\chi_{\mathcal{R}}\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g} |\chi_\mathcal{R}(g)|^2 = 1 ⟨χR∣χR⟩=∣G∣1g∑∣χR(g)∣2=1
对所有群元求和 (sum over group elements) 是很重要的操作：群函数、类函数的内积，正交归一关系
1∣G∣∑g∈Gf(g)\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} f(g) ∣G∣1g∈G∑f(g)
由于群结构，对群元求和有两个关键性质
离散群 GGG：
1∣G∣∑g∈Gf(g)f:G→C\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}f(g) \qquad f: G \to \mathbb{C} ∣G∣1g∈G∑f(g)f:G→C
平移不变性
上述求和具有左右平移不变性：对任意固定的 hhh 和任意 fff，
1∣G∣∑gf(gh)= 1∣G∣∑all (g′h−1)f(g′)=1∣G∣∑all g′f(g′)1∣G∣∑gf(hg)= 1∣G∣∑all (h−1g′)f(g′)=1∣G∣∑all g′f(g′)\begin{align*} \frac{1}{|G|} \sum_{g} f({\color{green}gh}) = & \ \frac{1}{|G|} \sum_{\text{all} ~ (g'h^{-1})} f({\color{green}g'}) = \frac{1}{|G|}\sum_{\text{all}~g'}f(g')\\ \frac{1}{|G|} \sum_{g} f({\color{green}hg}) = & \ \frac{1}{|G|} \sum_{\text{all} ~ (h^{-1}g')} f({\color{green}g'}) = \frac{1}{|G|}\sum_{\text{all}~g'}f(g') \end{align*}∣G∣1g∑f(gh)=∣G∣1g∑f(hg)= ∣G∣1all (g′h−1)∑f(g′)=∣G∣1all g′∑f(g′) ∣G∣1all (h−1g′)∑f(g′)=∣G∣1all g′∑f(g′)
归一化 当 f(g)=1f(g) = 1f(g)=1，则
1∣G∣∑g∈G1=1\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} 1 = 1 ∣G∣1g∈G∑1=1
对于紧李群：求和变积分
∫G[dg]f(g)=∫dnx⏟李群上某坐标J(x1,…,xn)⏟Jacobi 矩阵行列式f(x1,…,xn)\int_G {\color{orange}[dg]} f(g) = \int \underbrace{\color{orange}d^n x}_\text{李群上某坐标} \underbrace{{\color{orange}J(x_1, \ldots, x_n)}}_\text{Jacobi 矩阵行列式} f(x_1, \ldots, x_n) ∫G[dg]f(g)=∫李群上某坐标dnxJacobi 矩阵行列式J(x1,…,xn)f(x1,…,xn)
要求归一化
∫G[dg]=∫dnxJ(x1,…,xn)=1\int_G [dg] = \int d^n x J(x_1, \ldots, x_n) = 1 ∫G[dg]=∫dnxJ(x1,…,xn)=1
以及左右平移不变性
∫G[dg]f(hg)=∫G[dg]f(gh)=∫G[dg]f(g)∀f,∀h∈G\int_G [dg]f(hg) = \int_G [dg] f(gh) = \int_G [dg]f(g) \quad \forall f, \forall h \in G ∫G[dg]f(hg)=∫G[dg]f(gh)=∫G[dg]f(g)∀f,∀h∈G
满足归一化条件与左右不变性的李群积分测度 [dg]=dnxJ(x)[dg] = d^n x J(x)[dg]=dnxJ(x) 称为Haar 积分测度
对任意李群，Haar 测度都是唯一的，只要找到一个就可以收工了。
考虑 U(1)={u=eiθ ∣ θ∈[0,2π]}U(1) = \{u = e^{i \theta} \ | \ \theta \in [0, 2\pi]\}U(1)={u=eiθ ∣ θ∈[0,2π]}
定理
∫U(1)[du]f(u)=∫02πdθ2πf(eiθ)\int_{U(1)} {\color{orange}[du]} f(u) = \int_0^{2\pi} {\color{orange}\frac{d\theta}{2\pi}} f(e^{i\theta}) ∫U(1)[du]f(u)=∫02π2πdθf(eiθ)
Haar 测度 显然有归一性
∫U(1)[du]=∫02πdθ2π=1\int_{U(1)}[du] = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2\pi} = 1 ∫U(1)[du]=∫02π2πdθ=1
Haar 测度 左右平移不变性 (利用 eiθe^{i\theta}eiθ 的 2π2\pi2π 周期性)
∫U(1)[du]f(u0u)= ∫02πdθ2πf(ei(θ0+θ))=∫θ02π+θ0dθ2πf(eiθ)= ∫02πdθ2πf(eiθ)=∫U(1)[du]f(u)\begin{align*} \int_{U(1)}[du]f(u_0 u) = & \ \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2\pi} f(e^{i(\theta_0 + \theta)}) = \int_{\theta_0}^{2\pi + \theta_0}\frac{d\theta}{2\pi}f(e^{i \theta})\\ = & \ \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2\pi} f(e^{i\theta}) = \int_{U(1)}[du]f(u) \end{align*} ∫U(1)[du]f(u0u)== ∫02π2πdθf(ei(θ0+θ))=∫θ02π+θ02πdθf(eiθ) ∫02π2πdθf(eiθ)=∫U(1)[du]f(u)
定理：对于 SU(2)SU(2)SU(2)，Haar 测度由下面公式给出，
∫SU(2)[dU]f(U)= 14π2∫02πdφ∫0πsinθdθ∫02πsin2ω2dωf(U(n⃗,ω))\begin{align*} & \ \int_{SU(2)} [dU]f(U)\\ = & \ \frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi} d\varphi\int_0^{\pi} \sin \theta d\theta \int_0^{2\pi}\sin^2\frac{\omega}{2}d\omega f(U(\vec n, \omega)) \end{align*}= ∫SU(2)[dU]f(U) 4π21∫02πdφ∫0πsinθdθ∫02πsin22ωdωf(U(n,ω))
这其实是 (2π2)−1×(2\pi^2)^{-1} \times(2π2)−1× 单位三维球面 S3S^3S3 的标准体积积分。
三维球面可以用球坐标表达 (ω∈[0,2π],θ∈[0,π],φ∈[0,2π]\omega \in [0, 2\pi], \theta \in [0,\pi], \varphi \in [0,2\pi]ω∈[0,2π],θ∈[0,π],φ∈[0,2π])
x1= rsinω2sinθcosφ,x2= rsinω2sinθsinφx3= rsinω2cosθ,x4= rcosω2\begin{align*} x_1 = & \ r\sin\frac{\omega}{2}\sin\theta \cos\varphi, & x_2 = & \ r\sin\frac{\omega}{2}\sin\theta \sin \varphi\\ x_3 = & \ r\sin\frac{\omega}{2}\cos\theta, & x_4 = & \ r\cos\frac{\omega}{2} \end{align*}x1=x3= rsin2ωsinθcosφ, rsin2ωcosθ,x2=x4= rsin2ωsinθsinφ rcos2ω
R4\mathbb{R}^4R4 中的体积元为 (分离出 (4π2)−1(4\pi^2)^{-1}(4π2)−1)
d4x= det∂(x1,x2,x3x4)∂(ω,θ,φ,r)dωdθdφdr= 2π2r314π2sinθsin2ω2dφdθdωdr\begin{align*} d^4 x = & \ \det\frac{\partial (x_1, x_2, x_3 x_4)}{\partial(\omega, \theta, \varphi, r)} d\omega d\theta d\varphi dr\\ = & \ 2\pi^2r^3 {\color{orange}\frac{1}{4\pi^2} \sin \theta \sin^2 \frac{\omega}{2} d\varphi d\theta d\omega} dr \end{align*}d4x== det∂(ω,θ,φ,r)∂(x1,x2,x3x4)dωdθdφdr 2π2r34π21sinθsin22ωdφdθdωdr
R4\mathbb{R}^4R4 体积元
d4x=2π2r314π2sinθsin2ω2dφdθdωdrd^4 x = 2\pi^2r^3 {\color{orange}\frac{1}{4\pi^2} \sin \theta \sin^2 \frac{\omega}{2} d\varphi d\theta d\omega} dr d4x=2π2r34π21sinθsin22ωdφdθdωdr
单位 (r=1r = 1r=1) 三维球面体积元
dVS3=2π214π2sinθsin2ω2dφdθdω=2π2[dU]dV_{S^3} = 2\pi^2 {\color{orange}\frac{1}{4\pi^2} \sin \theta \sin^2 \frac{\omega}{2} d\varphi d\theta d\omega} = 2\pi^2 {\color{orange}[dU]} dVS3=2π24π21sinθsin22ωdφdθdω=2π2[dU]
Haar 积分体积元
[dU]=12π2dVS3[dU] = \frac{1}{2\pi^2} dV_{S^3} [dU]=2π21dVS3
倘若被积函数 f(U)f(U)f(U) 是类函数，比如特征标，则 fff 实际上只依赖 ω\omegaω
f(U(n⃗,ω))=f(ω)f(U(\vec n, \omega)) = f(\omega) f(U(n,ω))=f(ω)
此时 Haar 积分可以被简化
∫SU(2)[dU]f(U)= 14π2∫02πsin2ω2dω∫0πdθsinθ∫02πdφf(ω)= 2π×24π2∫02πsin2ω2f(ω)dω= 1π∫02πsin2ω2f(ω)dω\begin{align*} \int_{SU(2)}[dU] f(U) = & \ \frac{1}{4\pi^2} \int_0^{2\pi} \sin^2\frac{\omega}{2} d\omega \int_0^\pi d\theta \sin \theta \int_0^{2\pi}d\varphi f(\omega)\\ = & \ \frac{2\pi \times 2}{4\pi^2} \int_0^{2\pi} \sin^2 \frac{\omega}{2}f(\omega)d\omega\\ = & \ \purple{\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 \frac{\omega}{2}f(\omega) d\omega} \end{align*}∫SU(2)[dU]f(U)=== 4π21∫02πsin22ωdω∫0πdθsinθ∫02πdφf(ω) 4π22π×2∫02πsin22ωf(ω)dω π1∫02πsin22ωf(ω)dω
定理：SU(2)SU(2)SU(2) 表示 R\mathcal{R}R 是不可约表示的充分必要条件是
∫SU(2)[dU]χR(U)χR(U)‾=1\int_{SU(2)} [dU] \chi_\mathcal{R}(U) \overline{\chi_\mathcal{R}(U)} = 1 ∫SU(2)[dU]χR(U)χR(U)=1
定理：若 R\mathcal{R}R，R′\mathcal{R}'R′ 是 SU(2)SU(2)SU(2) 的不等价的不可约表示，则
∫SU(2)[dU]χR(U)χR′(U)‾=0\int_{SU(2)} [dU] \chi_\mathcal{R}(U) \overline{\chi_{\mathcal{R}'}(U)} = 0 ∫SU(2)[dU]χR(U)χR′(U)=0
两个定理不作证明
SU(2)SU(2)SU(2) 天然线性地作用在 C2\mathbb{C}^2C2 上：对任意 U∈SU(2)U\in SU(2)U∈SU(2)
(zw)→U(z′w′)=(ab−bˉaˉ)(zw)(zw)→U−1(z′′w′′)=(aˉ−bbˉa)(zw)\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \xrightarrow{U} \begin{pmatrix} z' \\ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ - \bar b & \bar a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \xrightarrow{U^{-1}} \begin{pmatrix} z'' \\ w'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bar a & - b \\ \bar b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}(zw)U(z′w′)=(a−bˉbaˉ)(zw)(zw)U−1(z′′w′′)=(aˉbˉ−ba)(zw)
C2\mathbb{C}^2C2 上述 SU(2)SU(2)SU(2) 对 C2\mathbb{C}^2C2 的天然作用其实就形成了一个最基本的表示。见下文。
f(zw)=∑k=0nakzn−kwkf \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \sum_{k = 0}^{n}a_kz^{n - k} w^{k} f(zw)=k=0∑nakzn−kwk
定义 UUU 对函数 fff 的线性作用 f→Uff \to Uff→Uf，
f(zw)→U(Uf)⏟新函数(zw)≔f(U−1(zw))f \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \xrightarrow{U} \underbrace{{\color{green}(Uf)}}_\text{新函数}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \coloneqq f\left(U^{-1}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}\right)f(zw)U新函数(Uf)(zw):=f(U−1(zw))
定理：上述作用构成线性群作用，是群 SU(2)SU(2)SU(2) 的线性表示
群作用 检查保群乘法性：U1,U2U_1, U_2U1,U2 先后作用等于 U1U2U_1 U_2U1U2 一次作用
(U1(U2f))(zw)= (U2f)(U1−1(zw))= f(U2−1U1−1(zw))=f((U1U2)−1(zw))= ((U1U2)f)(zw)\begin{align*} (U_1 {\color{orange}(U_2 f)}) \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = & \ {\color{orange}(U_2f)}\left(U_1^{-1}\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix}\right)\\ = & \ f\left( U_2^{-1}U_1^{-1} \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \right) = f\left( (U_1U_2)^{-1} \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \right)\\ = & \ \Big((U_1U_2)f \Big) \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} \end{align*}(U1(U2f))(zw)=== (U2f)(U1−1(zw)) f(U2−1U1−1(zw))=f((U1U2)−1(zw)) ((U1U2)f)(zw)
定义：上述 SU(2)SU(2)SU(2) 对 Cn+1\mathbb{C}^{n + 1}Cn+1 的作用记为 线性表示 R(n)\mathcal{R}^{(n)}R(n)。
选择 Cn+1\mathbb{C}^{n + 1}Cn+1 基底为一组 n+1n+1n+1 个单项式 ψk\psi_kψk，ψk(zw)≔zn−kwk\psi_k(\substack{z\\w}) \coloneqq z^{n - k}w^kψk(zw):=zn−kwk，
ψ0(zw)=zn, ψ1(zw)=zn−1w, ψ2(zw)=zn−2w2, …, ψn(zw)=wn\psi_0\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} = z^n, \ \psi_1\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} = z^{n - 1}w, \ \psi_2\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} = z^{n - 2}w^2, \ \ldots, \ \psi_n\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} = w^n ψ0(zw)=zn, ψ1(zw)=zn−1w, ψ2(zw)=zn−2w2, …, ψn(zw)=wn
例 当 n=1n = 1n=1，ψ0(zw)=z\psi_0\big(\substack{z\\w}\big) = zψ0(zw)=z，ψ1(zw)=w\psi_1\big(\substack{z\\w}\big) = wψ1(zw)=w。
当 n=2n = 2n=2，ψ0(zw)=z2\psi_0\big(\substack{z\\w}\big) = z^2ψ0(zw)=z2，ψ1(zw)=zw\psi_1\big(\substack{z\\w}\big) = z wψ1(zw)=zw，ψ2(zw)=w2\psi_2\big(\substack{z\\w}\big) = w^2ψ2(zw)=w2。
例子：取 U=U(e⃗3,ω)U = U(\vec e_3, \omega)U=U(e3,ω)，则
U−1(zw)=(e−i2ωe+i2ω)(zw)=(e−i2ωze+i2ωw)U^{-1}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{- \frac{i}{2}\omega} \\ & e^{+ \frac{i}{2}\omega} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{- \frac{i}{2}\omega}z \\ e^{+ \frac{i}{2}\omega} w \end{pmatrix}U−1(zw)=(e−2iωe+2iω)(zw)=(e−2iωze+2iωw)
于是，在 UUU 作用下，基底 ψk\psi_kψk 发生变化，
(Uψk)(zw)= ψk(U−1(zw))=ψk(e−i2ωze+i2ωw)= (e−i2ωz)n−k(e+i2ωw)k=e+i2ω(2k−n)ψk(zw)\begin{align*} (U\psi_k)\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = & \ \psi_k \left(U^{-1}\begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}\right) = \psi_k \begin{pmatrix} e^{- \frac{i}{2}\omega}z \\ e^{+ \frac{i}{2}\omega}w \end{pmatrix}\\ = & \ (e^{- \frac{i}{2}\omega}z)^{n - k} (e^{+ \frac{i}{2}\omega}w)^k = e^{+ \frac{i}{2}\omega(2k - n)} \psi_k\begin{pmatrix} z\\w \end{pmatrix} \end{align*}(Uψk)(zw)== ψk(U−1(zw))=ψk(e−2iωze+2iωw) (e−2iωz)n−k(e+2iωw)k=e+2iω(2k−n)ψk(zw)
即
R(n)(U(e⃗3,ω))ψk=ei2ω(2k−n)ψk\mathcal{R}^{(n)}(U(\vec e_3, \omega)) \psi_k = e^{\frac{\text{i}}{2}\omega(2k - n)}\psi_k R(n)(U(e3,ω))ψk=e2iω(2k−n)ψk
因此，相应的表示矩阵 (的矩阵元)
R(n)(U(e⃗3,ω))kℓ=δkℓei2ω(2k−n)\mathcal{R}^{(n)}(U(\vec e_3, \omega))_{k \ell} = \delta_{k \ell} e^{ \frac{\text{i}}{2}\omega(2k - n)} R(n)(U(e3,ω))kℓ=δkℓe2iω(2k−n)
R(n)(U(e⃗3,ω))=(e−i2nωei2ω(2−n)⋱e+i2nω)\mathcal{R}^{(n)}(U(\vec e_3, \omega)) = \begin{pmatrix} e^{- \frac{i}{2}n\omega}\\ & e^{\frac{i}{2}\omega(2 - n)} \\ & & \ddots \\ &&& e^{+\frac{i}{2}n\omega} \end{pmatrix} R(n)(U(e3,ω))=e−2inωe2iω(2−n)⋱e+2inω
R(n)(U(e⃗3,ω))=(e+i2nωe+i2ω(n−2)⋱e−i2nω)\mathcal{R}^{(n)}(U(\vec e_3, \omega)) = \begin{pmatrix} e^{+ \frac{i}{2}n\omega}\\ & e^{+ \frac{i}{2}\omega(n - 2)} \\ & & \ddots \\ &&& e^{-\frac{i}{2}n\omega} \end{pmatrix} R(n)(U(e3,ω))=e+2inωe+2iω(n−2)⋱e−2inω
物理学家常用记号替代 n,kn, kn,k：
自旋 j≔n2j \coloneqq \frac{n}{2}j:=2n，
j=0,12,1,32,2,…∈12Nj = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots \in \frac{1}{2}\mathbb{N} j=0,21,1,23,2,…∈21N
磁量子数 m=12(2k−n)m = \frac{1}{2}(2k - n)m=21(2k−n)，
m=−j,−j+1,…,j−1,jm = -j, -j + 1, \ldots, j - 1, j m=−j,−j+1,…,j−1,j
重新标记 Rj≔R(n=2j)\mathcal{R}_j \coloneqq \mathcal{R}^{(n = 2j)}Rj:=R(n=2j)，dimRj=n+1=2j+1\dim \mathcal{R}_j = n + 1 = 2j + 1dimRj=n+1=2j+1
旧基底 ψk=0,1,…,n=zn−kwk\psi_{k = 0, 1, \ldots, n} = z^{n - k}w^kψk=0,1,…,n=zn−kwk 重新命名为
ψjm≔#zj−mwj+m\psi_{jm}\coloneqq \# z^{j - m}w^{j + m} ψjm:=#zj−mwj+m
基底 当 j=12j = \frac{1}{2}j=21，ψ12,−12=z12−(−12)w12−12=z\psi_{\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}} = z^{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} w^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = zψ21,−21=z21−(−21)w21−21=z，ψ12,12=w\psi_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}} = wψ21,21=w。
当 j=1j = 1j=1，
ψ1,−1=z2ψ1,0=zwψ1,1=w2\psi_{1, -1} = z^2 \qquad \psi_{1, 0} = z w \qquad \psi_{1, 1} = w^2 ψ1,−1=z2ψ1,0=zwψ1,1=w2
Rj(U(e⃗3,ω))ψjm=eimωψjmR_j(U(\vec e_3, \omega)) \psi_{jm} = e^{\text{i} m\omega}\psi_{jm} Rj(U(e3,ω))ψjm=eimωψjm
Rj(U(e⃗3,ω))=(eijωei(j−1)ω⋱e−i(j−1)ωe−ijω)\mathcal{R}_j(U(\vec e_3, \omega)) = \begin{pmatrix} e^{\text{i}j\omega}\\ & e^{\text{i}(j - 1)\omega}\\ && \ddots\\ &&& e^{-\text{i}(j - 1)\omega}\\ &&&& e^{-\text{i}j\omega} \end{pmatrix} Rj(U(e3,ω))=eijωei(j−1)ω⋱e−i(j−1)ωe−ijω
排列顺序
如果反过来排列 (ψj,−j,⋯ ,ψj,j)(\psi_{j, -j}, \cdots, \psi_{j, j})(ψj,−j,⋯,ψj,j)，则矩阵变成
Rj(U(e⃗3,ω))=(e−ijωe−i(j−1)ω⋱ei(j−1)ωeijω)\mathcal{R}_j(U(\vec e_3, \omega)) = \begin{pmatrix} e^{-\text{i}j\omega}\\ & e^{-\text{i}(j - 1)\omega}\\ && \ddots\\ &&& e^{\text{i}(j - 1)\omega}\\ &&&& e^{\text{i}j\omega} \end{pmatrix} Rj(U(e3,ω))=e−ijωe−i(j−1)ω⋱ei(j−1)ωeijω
χRj(U(n⃗,ω))= χRj(U(e⃗3,ω))=trdiag(eimω ∣ m=−j,…,j)= ∑m=−jjeimω=e−ijω(1−eiω(2j+1))1−eiω= e−ijω−eiω(j+1)1−eiω=e−i(j+12)ω−ei(j+12)ωe−iω2−e+iω2= sin(j+12)ωsin12ω\begin{align*} \chi_{\mathcal{R}_j}(U(\vec n, \omega)) = & \ \chi_{\mathcal{R}_j}(U(\vec e_3, \omega)) = \operatorname{tr}\operatorname{diag}(e^{\text{i} m \omega} \ | \ m = -j, \ldots, j)\\ = & \ \sum_{m = -j}^{j}e^{im \omega} = \frac{e^{-\text{i} j \omega}(1 - e^{\text{i}\omega(2j + 1)})}{1 - e^{\text{i} \omega}}\\ = & \ \frac{e^{-\text{i} j \omega} - e^{\text{i}\omega(j + 1)}}{1 - e^{\text{i} \omega}} = \frac{e^{- \text{i} (j + \frac{1}{2})\omega} - e^{\text{i} (j + \frac{1}{2})\omega}}{e^{- \text{i}\frac{\omega}{2}} - e^{+ \text{i}\frac{\omega}{2}}}\\ = & \ \frac{\sin(j + \frac{1}{2})\omega}{\sin\frac{1}{2}\omega} \end{align*}χRj(U(n,ω))==== χRj(U(e3,ω))=trdiag(eimω ∣ m=−j,…,j) m=−j∑jeimω=1−eiωe−ijω(1−eiω(2j+1)) 1−eiωe−ijω−eiω(j+1)=e−i2ω−e+i2ωe−i(j+21)ω−ei(j+21)ω sin21ωsin(j+21)ω
检查等价性与可约性：类函数 Haar 积分，j1,j2∈12Nj_1, j_2 \in \frac{1}{2}\mathbb{N}j1,j2∈21N
1π∫02πsin2ω2dωχRj1(ω)χRj2(ω)‾= 1π∫02πsin2ω2dωsin(j1+12)ωsinω2sin(j2+12)ωsinω2= {12π[sin2π(j1−j2)j1−j2−sin2π(j1+j2)1+j1+j2]=0,j1≠j21,j1=j2\begin{align*} & \ \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 \frac{\omega}{2} d\omega \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(\omega) \overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(\omega)}\\ = & \ \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} {\color{orange}\sin^2\frac{\omega}{2}} d\omega \frac{\sin(j_1 + \frac{1}{2})\omega}{{\color{orange}\sin \frac{\omega}{2}}} \frac{\sin(j_2 + \frac{1}{2})\omega}{{\color{orange}\sin \frac{\omega}{2}}}\\ = & \ \left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2\pi} \left[\frac{\sin 2\pi(j_1 - j_2)}{j_1 - j_2} - \frac{\sin 2\pi(j_1 + j_2)}{1 + j_1 + j_2}\right] = {\red{0}}, & j_1 \ne j_2\\ 1, & j_1 = j_2 \end{array} \right. \end{align*}== π1∫02πsin22ωdωχRj1(ω)χRj2(ω) π1∫02πsin22ωdωsin2ωsin(j1+21)ωsin2ωsin(j2+21)ω {2π1[j1−j2sin2π(j1−j2)−1+j1+j2sin2π(j1+j2)]=0,1,j1=j2j1=j2
Rj\mathcal{R}_jRj 互不等价，且均为不可约表示。
∫SU(2)[dU]χRj1(U)χRj2(U)‾=δj1j2\int_{SU(2)}[dU] \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U) \overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U)} = \delta_{j_1 j_2} ∫SU(2)[dU]χRj1(U)χRj2(U)=δj1j2
∑j∈12NχRj(ω)χRj(ω′)‾=K(ω−ω′)\sum_{j \in \frac{1}{2}\mathbb{N}} \chi_{\mathcal{R}_j}(\omega)\overline{\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega')} = K(\omega - \omega') j∈21N∑χRj(ω)χRj(ω′)=K(ω−ω′)
1π∫02πdω′sin2ω′2K(ω−ω′)f(ω′)=f(ω)\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}d\omega' \sin^2 \frac{\omega'}{2} K(\omega - \omega') f(\omega') = f(\omega) π1∫02πdω′sin22ω′K(ω−ω′)f(ω′)=f(ω)
考虑自旋 j=0j = 0j=0，对应 n=0n = 0n=0
Rj=0\mathcal{R}_{j = 0}Rj=0：SU(2)SU(2)SU(2) 的平凡表示/标量 (scalar) 表示/单重态 (singlet)
Rj=0(U)X=X∀X∈Rj,∀U∈SU(2)\mathcal{R}_{j = 0}(U) X = X \qquad \forall X \in \mathcal{R}_j, \quad \forall U \in SU(2) Rj=0(U)X=X∀X∈Rj,∀U∈SU(2)
dimRj=0=2j+1=1\dim \mathcal{R}_{j = 0} = 2j + 1 = 1dimRj=0=2j+1=1
考虑 j=1/2j = 1/2j=1/2，对应 n=1n = 1n=1
Rj=12\mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}}Rj=21：SU(2)SU(2)SU(2) 的基本 (fundamental) 表示/定义 (defining) 表示/旋量 (spinor) 表示/二重态 (doublet)
dimRj=12=2j+1=2\dim \mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}} = 2 j + 1 = 2dimRj=21=2j+1=2。
设 eα=1,2e_{\alpha = 1, 2}eα=1,2 为某套基底。则任意 X∈Rj=12X \in \mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}}X∈Rj=21 都可以写成
X=Xαeα=X1e1+X2e2X = X^\alpha e_\alpha = X^1 e_1 + X^2 e_2 X=Xαeα=X1e1+X2e2
UUU 的作用
Xα→(UX)α=UαβXβU∈SU(2)X^\alpha \to (U X)^\alpha = U^\alpha{_\beta}X^\beta \qquad U \in SU(2) Xα→(UX)α=UαβXβU∈SU(2)
考虑 ϵαβ\epsilon^{\alpha \beta}ϵαβ 与 ϵαβ\epsilon_{\alpha \beta}ϵαβ
ϵ12= −ϵ21=1ϵ12=−ϵ21=−1ϵ11= ϵ22=ϵ11=ϵ22=0\begin{align*} \epsilon^{12} = & \ - \epsilon^{21} = 1 \qquad \epsilon_{12} = - \epsilon_{21} = -1\\ \epsilon^{11} = & \ \epsilon^{22} = \epsilon_{11} = \epsilon_{22} = 0 \end{align*}ϵ12=ϵ11= −ϵ21=1ϵ12=−ϵ21=−1 ϵ22=ϵ11=ϵ22=0
ϵαβϵβγ=δαγϵαβϵβγ=δαγ\epsilon^{\alpha \beta}\epsilon_{\beta \gamma} = \delta{^\alpha}_{\gamma} \qquad \epsilon_{\alpha \beta}\epsilon^{\beta \gamma} = \delta{_\alpha}^{\gamma} ϵαβϵβγ=δαγϵαβϵβγ=δαγ
对 ∀X,Y∈Rj=12\forall X, Y \in \mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}}∀X,Y∈Rj=21，定义 「內积」
⟨X,Y⟩≔−ϵαβXαYβ=X1Y2−X2Y1\langle X, Y \rangle \coloneqq - \epsilon_{\alpha \beta}X^\alpha Y^\beta = X^1 Y^2 - X^2 Y^1 ⟨X,Y⟩:=−ϵαβXαYβ=X1Y2−X2Y1
反对称 上述内积具有反对称性，⟨X,Y⟩=−⟨Y,X⟩\langle X, Y \rangle = - \langle Y, X \rangle⟨X,Y⟩=−⟨Y,X⟩
负号只是个人喜好
定理：⟨UX,UY⟩=⟨X,Y⟩\langle UX, UY \rangle = \langle X, Y \rangle⟨UX,UY⟩=⟨X,Y⟩，∀U∈SU(2)\forall U \in SU(2)∀U∈SU(2)
证明 直接计算，记 X′=UXX' = UXX′=UX，Y′=UYY' = UYY′=UY
⟨UX,UY⟩= X′1Y′2−X′2Y′1= (U1αXα)(U2βYβ)−(U2αXα)(U1βYβ)= (U11X1+U12X2)(U21Y1+U22Y2) −(U21X1+U22X2)(U11Y1+U12Y2)\begin{align*} \langle UX, UY \rangle = & \ X'^1 Y'^2 - X'^2 Y'^1\\ = & \ (U^1{_\alpha}X^\alpha) (U^2{_\beta} Y^\beta) - (U^2{_\alpha}X^\alpha) (U^1{_\beta} Y^\beta)\\ = & \ (U^1{_1}X^1 + U^1{_2}X^2)(U^2{_1}Y^1 + U^2{_2}Y^2)\\ & \ - (U^2{_1}X^1 + U^2{_2}X^2)(U^1{_1}Y^1 + U^1{_2}Y^2) \end{align*}⟨UX,UY⟩=== X′1Y′2−X′2Y′1 (U1αXα)(U2βYβ)−(U2αXα)(U1βYβ) (U11X1+U12X2)(U21Y1+U22Y2) −(U21X1+U22X2)(U11Y1+U12Y2)
证明 8 项中，有 4 项相互抵消，留下
= U11U22X1Y2+U12U21X2Y1 −U21U12X1Y2−U22U11X2Y1= U11U22(X1Y2−X2Y1)−U21U12(X1Y2−X2Y1)= detU×⟨X,Y⟩=⟨X,Y⟩\begin{align*} = & \ U^1{_1}U^2{_2}X^1 Y^2 + U^1{_2}U^2{_1}X^2 Y^1\\ & \ - U^2{_1}U^1{_2}X^1 Y^2 - U^2{_2}U^1{_1}X^2 Y^1\\ = & \ U^1{_1}U^2{_2} {\color{orange}(X^1 Y^2 - X^2 Y^1)} - U^2{_1}U^1{_2} {\color{orange}(X^1 Y^2 - X^2 Y^1)}\\ = & \ \det U \times {\color{orange}\langle X, Y \rangle} = \langle X, Y \rangle \end{align*}=== U11U22X1Y2+U12U21X2Y1 −U21U12X1Y2−U22U11X2Y1 U11U22(X1Y2−X2Y1)−U21U12(X1Y2−X2Y1) detU×⟨X,Y⟩=⟨X,Y⟩
因此，从 Rj=12\mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}}Rj=21 的元素 X,YX, YX,Y 可以构造出 SU(2)SU(2)SU(2) 标量，
−ϵαβXαYβ- \epsilon_{\alpha \beta} X^\alpha Y^\beta −ϵαβXαYβ
ϵαβ\epsilon_{\alpha\beta}ϵαβ 一定程度上是一种反对称的度规，可以用于升降指标、指标缩并。
Rj=1\mathcal{R}_{j = 1}Rj=1：SU(2)SU(2)SU(2) 的三重态表示/SO(3)SO(3)SO(3) 矢量表示/伴随表示 (adjoint representation)
伴随作用 考虑 x^≔∑a=13xaσa\hat x \coloneqq \sum_{a = 1}^{3} x_a \sigma_ax^:=∑a=13xaσa，则
Ux^U−1=∑a=13xa′σaxa′=R(U)abxbU \hat x U^{-1} = \sum_{a = 1}^{3} x'_a \sigma_a \qquad x'_a = R(U)_{ab}x_b Ux^U−1=a=1∑3xa′σaxa′=R(U)abxb
通过伴随作用 x^→Ux^U−1\hat x \to U \hat x U^{-1}x^→Ux^U−1 诱导三维矢量变换 xa→xa′x_a \to x'_axa→xa′。
SU(2)SU(2)SU(2) 李代数 由 Pauli 矩阵 σa\sigma_aσa 作为基底张成的线性空间，构成 SU(2)SU(2)SU(2) 的李代数 su(2)\mathfrak{su}(2)su(2)。这个空间形成 SU(2)SU(2)SU(2) 的三维伴随表示的表示空间。
一般李代数 任意李群 GGG 必然有一个维度为 dimG\dim GdimG 的特殊表示称为伴随表示 g\mathfrak{g}g。这个表示反映了李群的核心结构。这个表示自身同时形成一种新的代数结构，称为李代数 (Lie algebra)。
考虑 j∈Zj \in \mathbb{Z}j∈Z。则
Rj(U(e⃗3,ω))=diag(eimω)m=−j,…,+j∈Z⇒ Rj(U(e⃗3,0))=Rj(U(e⃗3,2π))⇒ Rj(1)=Rj(−1)\begin{align*} & \ \mathcal{R}_j (U(\vec e_3, \omega)) = \operatorname{diag}(e^{i m \omega})_{m = - j, \ldots, + j \in \mathbb{Z}}\\ \Rightarrow & \ \mathcal{R}_j(U(\vec e_3, 0)) = \mathcal{R}_j(U(\vec e_3, 2\pi))\\ \Rightarrow & \ \mathcal{R}_j(\mathbf{1}) = \mathcal{R}_j( - \mathbf{1}) \end{align*}⇒⇒ Rj(U(e3,ω))=diag(eimω)m=−j,…,+j∈Z Rj(U(e3,0))=Rj(U(e3,2π)) Rj(1)=Rj(−1)
因此，Rj∈Z\mathcal{R}_{j \in \mathbb{Z}}Rj∈Z 是非忠实表示。
当 j∈Z+12j \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}j∈Z+21，
Rj(1)=−Rj(−1)\mathcal{R}_j(\mathbf{1}) = - \mathcal{R}_j( - \mathbf{1}) Rj(1)=−Rj(−1)
可以证明，Rj∈Z+12\mathcal{R}_{j \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}}Rj∈Z+21 是忠实表示。
Rj∈Z+12\mathcal{R}_{j \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}}Rj∈Z+21 的矢量在 −1- \mathbf{1}−1 作用下发生非平凡变换：带非平凡的 Z2\mathbb{Z}_2Z2-荷
Rj(−1)v=−v\mathcal{R}_{j}(- \mathbf{1}) v = - v Rj(−1)v=−v
Z2\mathbb{Z}_2Z2 Z2={1,−1}⊂SU(2)\mathbb{Z}_2 = \{\mathbf{1}, - \mathbf{1}\} \subset SU(2)Z2={1,−1}⊂SU(2)，是 SU(2)SU(2)SU(2) 的中心。
SO(3)SO(3)SO(3) 为特殊正交 3×33 \times 33×3 矩阵：(RT)abRbc=RbaRbc=δac(R^T)_{ab} R_{bc} = R_{ba}R_{bc} = \delta_{ac}(RT)abRbc=RbaRbc=δac
设 R3\mathbb{R}^3R3 有正交归一基底 eae_aea，则
X=Xaea∀X∈R3X = X^a e_a \qquad \forall X \in \mathbb{R}^3 X=Xaea∀X∈R3
考虑对 X∈R3X \in \mathbb{R}^3X∈R3 的分量 XaX^aXa 做 R(n⃗,ω)R(\vec n, \omega)R(n,ω) 变换
Xa→X′a=R(n⃗,ω)abXb≔RabXbX^a \to X'^a = R(\vec n, \omega)_{ab}X^b \coloneqq {\color{orange}R_{ab} X^b} Xa→X′a=R(n,ω)abXb:=RabXb
X=Xaea→X′=RabXbea≔Xbeb′⇒ 等价基底变换 eb′=Rabea\begin{align*} & \ X = X^a e_a \to X' = {\color{orange}R_{ab} X^b} e_a {\color{green}\coloneqq X^b e'_b}\\ \Rightarrow& \ \text{等价基底变换} \ e'_b = R_{ab}e_a \end{align*}⇒ X=Xaea→X′=RabXbea:=Xbeb′ 等价基底变换 eb′=Rabea
下面研究电子自旋本征态
电子自旋角动量算符 sa=ℏ2σas_a = \frac{\hbar}{2}\sigma_asa=2ℏσa 沿着 eae_aea 测量角动量：
eb→eb′=Rabeasb→sb′=Rabsae_b \to e'_b = R_{ab} e_a \qquad s_b \to s'_b = R_{ab}s_a eb→eb′=Rabeasb→sb′=Rabsa
RabR_{ab}Rab 可以用 Pauli 矩阵与 UUU 表达：
Rab=12tr(U−1σaUσb)R_{ab} = \frac{1}{2}\operatorname{tr} (U^{-1} \sigma_a U \sigma_b) Rab=21tr(U−1σaUσb)
(sb′)αβ=Rabsa= 12tr(U−1σaUσb)[ℏ2(σa)αβ]= ℏ212(σa)γδ(UσbU−1)δγ(σa)αβ= ℏ212(UσbU−1)δγ(−δαβδγδ+2δβγδαδ)= 0+ℏ2(UσbU−1)αβ\begin{align*} (s'_b)_{\alpha \beta} = {\color{#005fa3}R_{ab}}s_a = & \ {\color{#005fa3}\frac{1}{2} \operatorname{tr} (U^{-1}\sigma_a U \sigma_b)} \left[\frac{\hbar}{2} (\sigma_a)_{\alpha \beta}\right]\\ = & \ \frac{\hbar}{2} \frac{1}{2} {\color{orange}(\sigma_a)_{\gamma \delta}} (U \sigma_b U^{-1})_{\delta \gamma} {\color{orange}(\sigma_a)_{\alpha \beta}}\\ = & \ \frac{\hbar}{2} \frac{1}{2} (U \sigma_b U^{-1})_{\delta \gamma} {\color{orange}(- \delta_{\alpha \beta}\delta_{\gamma \delta} + 2 \delta_{\beta \gamma} \delta_{\alpha \delta})} = \ 0 + \frac{\hbar}{2} (U\sigma_b U^{-1})_{\alpha \beta} \end{align*}(sb′)αβ=Rabsa=== 21tr(U−1σaUσb)[2ℏ(σa)αβ] 2ℏ21(σa)γδ(UσbU−1)δγ(σa)αβ 2ℏ21(UσbU−1)δγ(−δαβδγδ+2δβγδαδ)= 0+2ℏ(UσbU−1)αβ
sb′=Rabsa=UsbU−1s'_b = R_{ab}s_a = U s_b U^{-1} sb′=Rabsa=UsbU−1
双重身份 体现了 sbs_bsb 的双重身份：既是“矢量” (由 a,ba, ba,b 指标显示)，又是“算符” (作用在一个二维希尔伯特空间上)
sbs_bsb 的本征态 ψ\psiψ，sb′{\color{orange}s'_b}sb′ 的本征态 ψ′\psi'ψ′：
UsbU−1Uψ=Usbψ=λUψ⇒ψ′=Uψ{\color{orange}U s_b U^{-1}} U \psi = Us_b \psi = \lambda U\psi \qquad \Rightarrow \qquad \psi' = U \psi UsbU−1Uψ=Usbψ=λUψ⇒ψ′=Uψ
总结：位置空间 R3\mathbb{R}^3R3 中作 SO(3)SO(3)SO(3) 转动 X→R(U,ω)XX \to R(U, \omega)XX→R(U,ω)X，诱导角动量本征态 ψ\psiψ 做 SU(2)SU(2)SU(2) 变换 ψ→Uψ\psi \to U \psiψ→Uψ。ψ\psiψ 相对于 XXX 称为 SO(3)SO(3)SO(3) 旋量
旋量 旋量总是相对于一个 "位置空间" Rn\mathbb{R}^nRn 而言的。
当 Rn\mathbb{R}^nRn 中作 SO(n)SO(n)SO(n) 转动，ψ\psiψ 跟随做 Spin(n)=SO(n)^\operatorname{Spin}(n) = \widehat{SO(n)}Spin(n)=SO(n) 变换，则称 ψ\psiψ 为 SO(n)SO(n)SO(n)-旋量。
考虑 ω∈[0,2π]\omega \in [0, 2\pi]ω∈[0,2π] 以及一系列转动 R(n⃗,ω)R(\vec n, \omega)R(n,ω)
SO(3)SO(3)SO(3) 转动以及诱导 SU(2)SU(2)SU(2) 变换，
X→R(n⃗,ω)Xψ→U(n⃗,ω)ψX \to R(\vec n, \omega) X \qquad \psi \to U(\vec n, \omega) \psi X→R(n,ω)Xψ→U(n,ω)ψ
当 ω\omegaω 从零抵达 2π2\pi2π：XXX 转一圈回到原值 XXX，但是 ψ→−ψ\psi \to - \psiψ→−ψ。
2π2\pi2π 对任意 n⃗\vec nn，U(n⃗,2π)=−12×2U(\vec n, 2\pi) = - \mathbf{1}_{2 \times 2}U(n,2π)=−12×2。
需要转两圈 ψ\psiψ 才回到原值。
给定群 (有限群、离散群或李群均可) GGG 的任意两个表示 R1,R2\mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2R1,R2 (表示空间 V1,V2V_1, V_2V1,V2)
定义 GGG 的 (以 V1⊕V2V_1 \oplus V_2V1⊕V2 为表示空间) 直和表示 R1⊕R2\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2R1⊕R2，
(R1⊕R2)(g)(v1⊕v2)=R1(g)v1⊕R2(g)v2∈V1⊕V2(\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2)(g)(v_1 \oplus v_2) = \mathcal{R}_1(g)v_1 \oplus \mathcal{R}_2(g)v_2 \in V_1 \oplus V_2 (R1⊕R2)(g)(v1⊕v2)=R1(g)v1⊕R2(g)v2∈V1⊕V2
直和 什么是直和？
直和可以通过基底来理解。设 V1,V2V_1, V_2V1,V2 的基底分别为 {ei}i=1n1\{e_i\}_{i = 1}^{n_1}{ei}i=1n1，{Eα}α=1n2\{E_\alpha\}_{\alpha=1}^{n_2}{Eα}α=1n2，则 V1⊕V2V_1 \oplus V_2V1⊕V2 的基底为
{ei⊕0,0⊕Eα ∣i=1,...,n1,α=1,...,n2}\{e_i \oplus \mathbf{0}, \mathbf{0} \oplus E_\alpha \ | i = 1, ..., n_1, \alpha = 1, ..., n_2\} {ei⊕0,0⊕Eα ∣i=1,...,n1,α=1,...,n2}
也可以简记为并集：合并基底
{ei ∣i=1,...,n1}∪{Eα ∣α=1,...,n2}\{e_i \ | i = 1, ..., n_1\} \cup \{E_\alpha \ | \alpha = 1, ..., n_2\} {ei ∣i=1,...,n1}∪{Eα ∣α=1,...,n2}
直和 利用合并基底，V1⊕V2V_1 \oplus V_2V1⊕V2 中任意元素可以展开
v=∑i=1n1viei+∑α=1n2vα′Eαv = \sum_{i = 1}^{n_1} v_i e_i + \sum_{\alpha = 1}^{n_2} v'_\alpha E_\alpha v=i=1∑n1viei+α=1∑n2vα′Eα
V1⊕V2V_1 \oplus V_2V1⊕V2 中任意元素都可以写成 v1⊕v2v_1 \oplus v_2v1⊕v2 的形式。
直和空间
直和 V1⊕V2V_1 \oplus V_2V1⊕V2 作为线性空间与笛卡尔积 V1×V2V_1 \times V_2V1×V2 同构，
dim(V1⊕V2)=dim(V1×V2)=dimV1+dimV2\dim (V_1 \oplus V_2) = \dim (V_1 \times V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 dim(V1⊕V2)=dim(V1×V2)=dimV1+dimV2
没多大差别，直和强调 V1⊕V2V_1 \oplus V_2V1⊕V2 中的元素可以做和差、数乘。
[R1(g)ij]⊕[R2(g)αβ]=([R1(g)ij][R2(g)αβ])[\mathcal{R}_1(g)_{ij}] \oplus [\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] = \begin{pmatrix} [\mathcal{R}_1(g)_{ij}]\\ & [\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] \end{pmatrix}[R1(g)ij]⊕[R2(g)αβ]=([R1(g)ij][R2(g)αβ])
直和交换律：R1⊕R2≃R2⊕R1\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2 \simeq \mathcal{R}_2 \oplus \mathcal{R}_1R1⊕R2≃R2⊕R1
直和结合律：(R1⊕R2)⊕R3=R1⊕(R2⊕R3)(\mathcal{R}_1 \oplus \mathcal{R}_2) \oplus \mathcal{R}_3 = \mathcal{R}_1 \oplus (\mathcal{R}_2 \oplus \mathcal{R}_3)(R1⊕R2)⊕R3=R1⊕(R2⊕R3)
等价但不相同 符号 ≃\simeq≃ 指代两个表示等价，但不一定是相同表示。
(R1⊗R2)(g)(v1⊗v2)=R1(g)v1⊗R2(g)v2∈V1⊗V2(\mathcal{R}_1\otimes \mathcal{R}_2)(g) (v_1 \otimes v_2) = \mathcal{R}_1(g) v_1 \otimes \mathcal{R}_2(g) v_2 \in V_1 \otimes V_2 (R1⊗R2)(g)(v1⊗v2)=R1(g)v1⊗R2(g)v2∈V1⊗V2
张量积
什么是张量积？
可以从基底来理解。设 V1,V2V_1, V_2V1,V2 的基底分别为 {ei}i=1n1,{Eα}α=1n2\{e_i\}_{i = 1}^{n_1}, \{E_\alpha\}_{\alpha = 1}^{n_2}{ei}i=1n1,{Eα}α=1n2，则 V1⊗V2V_1 \otimes V_2V1⊗V2 的基底为
{ei⊗Eα∣i=1,...n1,α=1,...,n2}\{e_i \otimes E_\alpha | i = 1, ... n_1, \alpha = 1, ..., n_2\} {ei⊗Eα∣i=1,...n1,α=1,...,n2}
V1⊗V2V_1 \otimes V_2V1⊗V2 中任意元素可以写成
v=∑i=1n1∑α=1n2viαei⊗Eαv = \sum_{i = 1}^{n_1} \sum_{\alpha = 1}^{n_2} v_{i\alpha} e_i \otimes E_\alpha v=i=1∑n1α=1∑n2viαei⊗Eα
张量积 V1⊗V2V_1 \otimes V_2V1⊗V2 中有一些特殊元素：张量积态
v=v1⊗v2=∑i=1n1∑α=1n2v1iv2αei⊗Eαv = v_1 \otimes v_2 = \sum_{i = 1}^{n_1}\sum_{\alpha = 1}^{n_2} v_{1i} v_{2\alpha} e_i \otimes E_\alpha v=v1⊗v2=i=1∑n1α=1∑n2v1iv2αei⊗Eα
即分量可以进行分解 viα=v1iv2αv_{i\alpha} = v_{1i}v_{2\alpha}viα=v1iv2α
维度 注意 dim(V1⊗V2)=dimV1×dimV2\dim (V_1 \otimes V_2) = \dim V_1 \times \dim V_2dim(V1⊗V2)=dimV1×dimV2。这与直积/笛卡尔积不同：dimV1×V2=dimV1+dimV2\dim V_1 \times V_2 = \dim V_1 + \dim V_2dimV1×V2=dimV1+dimV2。
[R1(g)ij]⊗[R2(g)αβ]=(R1(g)11[R2(g)αβ]R1(g)12[R2(g)αβ]⋯R1(g)21[R2(g)αβ]R1(g)22[R2(g)αβ]⋯⋮⋮⋱)[\mathcal{R}_1(g)_{ij}] \otimes [\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] = \begin{pmatrix} \mathcal{R}_1(g)_{11}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \mathcal{R}_1(g)_{12}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \cdots \\ \mathcal{R}_1(g)_{21}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \mathcal{R}_1(g)_{22}[\mathcal{R}_2(g)_{\alpha \beta}] & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}[R1(g)ij]⊗[R2(g)αβ]=R1(g)11[R2(g)αβ]R1(g)21[R2(g)αβ]⋮R1(g)12[R2(g)αβ]R1(g)22[R2(g)αβ]⋮⋯⋯⋱
张量积单位元：R⊗1=R\mathcal{R} \otimes \mathbf{1} = \mathcal{R}R⊗1=R 其中 1\mathbf{1}1 代表 1 维平凡表示
张量积交换律：R1⊗R2≃R2⊗R1\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2 \simeq \mathcal{R}_2 \otimes \mathcal{R}_1R1⊗R2≃R2⊗R1
张量积结合律：(R1⊗R2)⊗R3≃R1⊗(R2⊗R3)(\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2) \otimes \mathcal{R}_3 \simeq \mathcal{R}_1 \otimes (\mathcal{R}_2 \otimes \mathcal{R}_3)(R1⊗R2)⊗R3≃R1⊗(R2⊗R3)
分配律：R1⊗(R2⊕R3)≃(R1⊗R2)⊕(R1⊗R3)\mathcal{R}_1 \otimes (\mathcal{R}_2 \oplus \mathcal{R}_3) \simeq (\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_2) \oplus (\mathcal{R}_1 \otimes \mathcal{R}_3)R1⊗(R2⊕R3)≃(R1⊗R2)⊕(R1⊗R3)
R⊗R′≃⊕αmαR(α)\mathcal{R} \otimes \mathcal{R}' \simeq \oplus_{\alpha} m_\alpha \mathcal{R}^{(\alpha)} R⊗R′≃⊕αmαR(α)
R⊗R′≃⊕j∈12NNjRj\mathcal{R}\otimes \mathcal{R}' \simeq \oplus_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_j \mathcal{R}_{j} R⊗R′≃⊕j∈21NNjRj
χRj1⊗Rj2(U)=χRj1(U)χRj2(U)\chi_{\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2}}(U) = \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U)\chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U)χRj1⊗Rj2(U)=χRj1(U)χRj2(U)
χRj1⊗Rj2(U)=∑j∈12NNj1j2jχRj(U)\chi_{\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2}}(U) = \sum_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j} \chi_{\mathcal{R}_j}(U)χRj1⊗Rj2(U)=j∈21N∑Nj1j2jχRj(U)
χRj1χRj2=∑j∈12NNj1j2jχRj\chi_{\mathcal{R}_{j_1}} \chi_{\mathcal{R}_{j_2}} = \sum_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j} \chi_{\mathcal{R}_j} χRj1χRj2=j∈21N∑Nj1j2jχRj
∫SU(2)[dU]χRj1(U)χRj2(U)χRj3(U)‾= ∫SU(2)[dU]∑jNj1j2jχRj(U)χRj3(U)‾=∑j∈12NNj1j2jδjj3=Nj1j2j3\begin{align*} & \ \int_{SU(2)} [dU] \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U)\chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U) \overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_3}}(U)}\\ = & \ \int_{SU(2)} [dU] \sum_{j} N_{j_1 j_2}{^j} \chi_{\mathcal{R}_j}(U)\overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_3}}(U)} = \sum_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j} \delta_{j j_3} = N_{j_1 j_2}{^{j_3}} \end{align*} = ∫SU(2)[dU]χRj1(U)χRj2(U)χRj3(U) ∫SU(2)[dU]j∑Nj1j2jχRj(U)χRj3(U)=j∈21N∑Nj1j2jδjj3=Nj1j2j3
定理：SU(2)SU(2)SU(2) 不可约表示张量积的分解重数为
Nj1j2j3=∫[dU]χRj1(U)χRj2(U)χRj3(U)‾N_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \int [dU] \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U) \chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U) \overline{\chi_{\mathcal{R}_{j_3}}(U)} Nj1j2j3=∫[dU]χRj1(U)χRj2(U)χRj3(U)
在 SU(2)SU(2)SU(2) 里面，特征标是实的，复共轭可以省略；但对于更一般的 SU(N)SU(N)SU(N) 群，特征标是复的，复共轭不可省略
Nj1j2j3=1π∫02πsin2ω2sin(j1+12)ωsinω2sin(j2+12)ωsinω2sin(j3+12)ωsinω2N_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 \frac{\omega}{2} \frac{\sin(j_1 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{\omega}{2}} \frac{\sin(j_2 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{\omega}{2}} \frac{\sin(j_3 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{\omega}{2}}Nj1j2j3=π1∫02πsin22ωsin2ωsin(j1+21)ωsin2ωsin(j2+21)ωsin2ωsin(j3+21)ω
Nj1j2j3={1,j3=∣j1−j2∣,∣j1−j2∣+1,…,j1+j20,otherwiseN_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \left\{ \begin{array}{cc} 1, & j_3 = |j_1 - j_2|, |j_1 - j_2| + 1, \ldots, j_1 + j_2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right .Nj1j2j3={1,0,j3=∣j1−j2∣,∣j1−j2∣+1,…,j1+j2otherwise
Rj1⊗Rj2≃ ⊕j∈12NNj1j2jRj=⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Rj,χRj1(U)χRj2(U)= ∑j∈12NNj1j2jχRj(U)=∑j=∣j1−j2∣j1+j2χRj(U)\begin{align*} \mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} \simeq & \ \oplus_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j} \mathcal{R}_{j} = \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \mathcal{R}_j, \\ \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(U) \chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(U) = & \ \sum_{j \in \frac{1}{2}\mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^j}\chi_{\mathcal{R}_j}(U) = \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \chi_{\mathcal{R}_j}(U) \end{align*}Rj1⊗Rj2≃χRj1(U)χRj2(U)= ⊕j∈21NNj1j2jRj=⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Rj, j∈21N∑Nj1j2jχRj(U)=j=∣j1−j2∣∑j1+j2χRj(U)
sin(j1+12)ωsin12ωsin(j2+12)ωsin12ω=∑j=∣j1−j2∣j1+j2sin(j+12)ωsin12ω\frac{\sin (j_1 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{1}{2}\omega} \frac{\sin (j_2 + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{1}{2}\omega} = \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \frac{\sin (j + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{1}{2}\omega}sin21ωsin(j1+21)ωsin21ωsin(j2+21)ω=j=∣j1−j2∣∑j1+j2sin21ωsin(j+21)ω
jjj 的求和范围
SU(2)SU(2)SU(2) 的不可约表示的 jjj 合法范围是 j=0,12,1,32,…j = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldotsj=0,21,1,23,…，因此
Rj1⊗Rj2≃⊕j∈12NNj1j2j3Rj3\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} \simeq \oplus_{j \in \frac{1}{2} \mathbb{N}} N_{j_1 j_2}{^{j_3}} \mathcal{R}_{j_3} Rj1⊗Rj2≃⊕j∈21NNj1j2j3Rj3
求和要穷尽所有 (无穷多个) j3=0,12,1,…j_3 = 0, \frac{1}{2}, 1, \ldotsj3=0,21,1,…，但其中 Nj1j2j3N_{j_1 j_2}{^{j_3}}Nj1j2j3 只有有限项非零。
全对称性
Nj1j2j3=Nj2j1j3=Nj1j3j2N_{j_1 j_2}{^{j_3}} = N_{j_2 j_1}{^{j_3}} = N_{j_1 j_3}{^{j_2}} Nj1j2j3=Nj2j1j3=Nj1j3j2
由积分式子：Nj1j2j3N_{j_1 j_2}{^{j_3}}Nj1j2j3 中的三个角动量是平权的。
结合律: 由 (Rj1⊗Rj2)⊗Rj3≃Rj1⊗(Rj2⊗Rj3)(\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2}) \otimes \mathcal{R}_{j_3} \simeq \mathcal{R}_{j_1} \otimes (\mathcal{R}_{j_2} \otimes \mathcal{R}_{j_3})(Rj1⊗Rj2)⊗Rj3≃Rj1⊗(Rj2⊗Rj3)
⇒ ∑jNj1j2jNjj3j′=∑jNj2j3jNj1jj′\Rightarrow \ \sum_{j} N_{j_1 j_2}{^j} N_{j j_3}{^{j'}} = \sum_{j} N_{j_2 j_3}{^j} N_{j_1 j}{^{j'}}⇒ j∑Nj1j2jNjj3j′=j∑Nj2j3jNj1jj′
说明 直接计算
⊕jNj1j2jRj⊗Rj3≃Rj1⊗(⊕jNj2j3jRj)\oplus_{j} N_{j_1 j_2}{^j} \mathcal{R}_j \otimes \mathcal{R}_{j_3} \simeq \mathcal{R}_{j_1} \otimes (\oplus_{j} N_{j_2 j_3}{^j} \mathcal{R}_j)⊕jNj1j2jRj⊗Rj3≃Rj1⊗(⊕jNj2j3jRj)
结合分配律，
⊕j′⊕jNj1j2jNjj3j′Rj′≃⊕j′⊕jNj2j3jNj1jj′Rj′\oplus_{j'} \oplus_j N_{j_1 j_2}{^j}N_{j j_3}{^{j'}}\mathcal{R}_{j'} \simeq \oplus_{j'} \oplus_j N_{j_2 j_3}{^j}N_{j_1 j}{^{j'}}\mathcal{R}_{j'}⊕j′⊕jNj1j2jNjj3j′Rj′≃⊕j′⊕jNj2j3jNj1jj′Rj′
NjN_{j}Nj 矩阵 定义一个新的矩阵 (Nj1)j2j3=Nj1j2j3(N_{j_1})_{j_2}{^{j_3}} = N_{j_1 j_2}{^{j_3}}(Nj1)j2j3=Nj1j2j3，则结合律实际上是
∑j(Nj1j2jNj3jj′−Nj3j2jNj1jj′)=[Nj1,Nj3]j2j′=0\sum_{j} (N_{j_1j_2}{^j}N_{j_3 j}{^{j'}} - N_{j_3 j_2}{^j}N_{j_1 j}{^{j'}}) = [N_{j_1}, N_{j_3}]_{j_2}{^{j'}} = 0 j∑(Nj1j2jNj3jj′−Nj3j2jNj1jj′)=[Nj1,Nj3]j2j′=0
Rj=R0⊗Rj=Rj⊗R0≃∑jN0jj′Rj′⇒N0jj′=δjj′\mathcal{R}_j = \mathcal{R}_0 \otimes \mathcal{R}_j = \mathcal{R}_j \otimes \mathcal{R}_0 \simeq \sum_{j} N_{0j}{^{j'}} \mathcal{R}_{j'} \Rightarrow N_{0j}{^{j'}} = \delta_{j}^{j'}Rj=R0⊗Rj=Rj⊗R0≃j∑N0jj′Rj′⇒N0jj′=δjj′
U(n⃗,ω)U(\vec n, \omega) U(n,ω)
Rj(U(n⃗,ω))\mathcal{R}_j(U(\vec n, \omega)) Rj(U(n,ω))
RjSO(3)(R(n⃗,ω))≔Rj(U(n⃗,ω))\green{\mathcal{R}^{SO(3)}_j(R(\vec n, \omega)) \coloneqq \mathcal{R}_j(U(\vec n, \omega))} RjSO(3)(R(n,ω)):=Rj(U(n,ω))
致命问题：当 j∈N+12j \in \mathbb{N} + \frac{1}{2}j∈N+21，SU(2)SU(2)SU(2) 的表示满足
Rj(U(n⃗,ω+2π))=Rj(−U(n⃗))=−Rj(U(n⃗,ω))\mathcal{R}_j(U(\vec n, \omega + 2\pi)) = \mathcal{R}_j(- U(\vec n)) = - \mathcal{R}_j(U(\vec n, \omega))Rj(U(n,ω+2π))=Rj(−U(n))=−Rj(U(n,ω))
从而迫使强行定义的 SO(3)SO(3)SO(3) 表示满足
RjSO(3)(R(n⃗,ω+2π))=−RjSO(3)(R(n⃗,ω))\mathcal{R}^{SO(3)}_j(R(\vec n, \omega + 2\pi)) = - \mathcal{R}^{SO(3)}_j(R(\vec n, \omega)) RjSO(3)(R(n,ω+2π))=−RjSO(3)(R(n,ω))
换言之，倘若 j∈12+Nj \in \frac{1}{2} + \mathbb{N}j∈21+N，这样定义的 RSO(3)\mathcal{R}^{SO(3)}RSO(3) 不是单值的
幸运的是，当 j∈Nj \in \mathbb{N}j∈N，上述问题不出现。
定理：SO(3)SO(3)SO(3) 的不可约表示由 SU(2)SU(2)SU(2) 的整数自旋不可约表示 Rj∈N\mathcal{R}_{j \in \mathbb{N}}Rj∈N 给出。
SO(3)SO(3)SO(3) SO(3)SO(3)SO(3) 的表示刚好占了 SU(2)SU(2)SU(2) 一半的表示，均为 SU(2)SU(2)SU(2) 的非忠实表示。
U(R(n⃗,ω))= U(n⃗,ω),ω∈[0,2π),U(R(n⃗,ω+2π))= U(n⃗,ω),ω∈[0,2π)U(R(n⃗,2π))=1\begin{align*} U(R(\vec n, \omega)) = & \ U(\vec n, \omega), \qquad \omega \in [0, 2\pi), \\ U(R(\vec n, \omega + 2\pi)) = & \ U(\vec n, \omega), \qquad \omega \in [0, 2\pi) \\ U(R(\vec n, 2\pi)) = \mathbf{1} \end{align*} U(R(n,ω))=U(R(n,ω+2π))=U(R(n,2π))=1 U(n,ω),ω∈[0,2π), U(n,ω),ω∈[0,2π)
U(R(n⃗,π)) U(R(n⃗,π))=U(n⃗,π)U(n⃗,π)=U(n⃗,2π)=−1U( R(n⃗,π)R(n⃗,π) )=U(R(n⃗,2π))=U(13×3)=1⇒U(R(n⃗,π))U(R(n⃗,π))=eπiU(R(n⃗,π)R(n⃗,π))\begin{align*} U(R(\vec n, \pi)) \ U(R(\vec n, \pi)) = U(\vec n, \pi)U(\vec n, \pi) = U(\vec n, 2\pi) = - \mathbf{1}\\ U( \ R(\vec n, \pi) R(\vec n, \pi) \ ) = U(R(\vec n, 2\pi)) = U(\mathbf{1}_{3\times 3}) = \mathbf{1}\\ \Rightarrow U(R(\vec n, \pi)) U(R(\vec n, \pi)) = \red{e^{\pi i}} U(R(\vec n, \pi) R(\vec n, \pi)) \end{align*} U(R(n,π)) U(R(n,π))=U(n,π)U(n,π)=U(n,2π)=−1U( R(n,π)R(n,π) )=U(R(n,2π))=U(13×3)=1⇒U(R(n,π))U(R(n,π))=eπiU(R(n,π)R(n,π))
U(R(n⃗1,ω1))U(R(n⃗2,ω2))=eiα(R(n⃗1,ω1),R(n⃗2,ω2))U(R(n⃗1,ω1)R(n⃗2,ω2))U(R(\vec n_1, \omega_1))U(R(\vec n_2, \omega_2)) = e^{i\alpha(R(\vec n_1, \omega_1), R(\vec n_2, \omega_2))} U(R(\vec n_1, \omega_1)R(\vec n_2, \omega_2)) U(R(n1,ω1))U(R(n2,ω2))=eiα(R(n1,ω1),R(n2,ω2))U(R(n1,ω1)R(n2,ω2))
这种有限度地违反乘法规则的映射称为 投影表示 (projective representation)
U(g1)U(g2)=eiα(g1,g2)U(g1g2)U(g_1)U(g_2) = e^{i \alpha(g_1, g_2)} U(g_1 g_2) U(g1)U(g2)=eiα(g1,g2)U(g1g2)
投影表示里的相位因子一般来说是 g1,g2g_1, g_2g1,g2 的 不连续 函数
因此 SU(2)SU(2)SU(2) 的半整数自旋表示实际上是 SO(3)SO(3)SO(3) 的投影表示
对任意 j∈Nj \in \mathbb{N}j∈N，可以考虑球谐函数
Yjm(θ,φ)≔(−1)m2ℓ+14π(j−m)!(j+m)!Pjm(cosθ)eimφY_{jm}(\theta, \varphi) \coloneqq (-1)^m \sqrt{\frac{2\ell + 1}{4\pi} \frac{(j - m)!}{(j + m)!}} P_{j}^m (\cos\theta)e^{i m \varphi} Yjm(θ,φ):=(−1)m4π2ℓ+1(j+m)!(j−m)!Pjm(cosθ)eimφ
其中连带勒让德函数 PjmP^m_jPjm 为
Pjm(x)≔12jj!(1−x2)m2dj+mdxj+m(x2−1)jP_{j}^m(x) \coloneqq \frac{1}{2^j j!}(1 - x^2)^{\frac{m}{2}} \frac{d^{j + m}}{dx^{j + m}} (x^2 - 1)^jPjm(x):=2jj!1(1−x2)2mdxj+mdj+m(x2−1)j
m=−j,−j+1,⋯ ,j−1,jm = -j, -j + 1, \cdots, j - 1, jm=−j,−j+1,⋯,j−1,j，j=0,1,2,⋯j = 0, 1, 2, \cdotsj=0,1,2,⋯
正交归一关系
∫02πdφ∫0πsinθdθ Yjm(θ,φ)Yj′m′(θ,φ)‾=δjj′δmm′\int_0^{2\pi}d\varphi \int_0^\pi \sin\theta d\theta \ Y_{j m}(\theta, \varphi) \overline{Y_{j' m'}(\theta, \varphi)} = \delta_{jj'} \delta_{mm'}∫02πdφ∫0πsinθdθ Yjm(θ,φ)Yj′m′(θ,φ)=δjj′δmm′
完备性：球谐函数形成 S2S^2S2 上的平方可积函数空间 L2(S2)L^2(S^2)L2(S2) 的完备基底：
f(θ,φ)=∑j=0+∞∑m=−j+jfjmYjm(θ,φ)f(\theta, \varphi) = \sum_{j = 0}^{+\infty}\sum_{m = -j}^{+j}f_{jm}Y_{jm}(\theta, \varphi) f(θ,φ)=j=0∑+∞m=−j∑+jfjmYjm(θ,φ)
Yjm(R−1(θ,φ))=∑m=−j+jRjSO(3)(R)mm′⏟Wigner matrixYjm′(θ,φ)Y_{jm}(R^{-1}(\theta, \varphi)) = \sum_{m = -j}^{+j} \underbrace{\mathcal{R}^{SO(3)}_j(R)_{mm'}}_\text{Wigner matrix} Y_{jm'}(\theta, \varphi) Yjm(R−1(θ,φ))=m=−j∑+jWigner matrixRjSO(3)(R)mm′Yjm′(θ,φ)
YjmY_{jm}Yjm
(x,y,z)→(cos(ω)x+sin(ω)y,−sin(ω)x+cos(ω)y,z)(x, y, z) \to (\cos (\omega) x + \sin (\omega) y, -\sin(\omega)x + \cos(\omega)y, z) (x,y,z)→(cos(ω)x+sin(ω)y,−sin(ω)x+cos(ω)y,z)
R(θ,φ)=(θ,φ−ω) ,R−1(θ,φ)=(θ,φ+ω)R(\theta, \varphi) = (\theta, \varphi - \omega) \ , \qquad R^{-1}(\theta, \varphi) = (\theta, \varphi + \omega)R(θ,φ)=(θ,φ−ω) ,R−1(θ,φ)=(θ,φ+ω)
Yjm(R−1(θ,φ))=Yjm(θ,φ+ω)=eimωYjm(θ,φ)Y_{jm}( R^{-1} (\theta, \varphi)) = Y_{jm}(\theta, \varphi + \omega) = e^{i m \omega} Y_{jm}(\theta, \varphi)Yjm(R−1(θ,φ))=Yjm(θ,φ+ω)=eimωYjm(θ,φ)
YjmY_{jm}Yjm 这个变换跟之前的 ψjm\psi_{jm}ψjm 变换是一样的。
H=p22m−e2rH = \frac{p^2}{2m} - \frac{e^2}{r} H=2mp2−re2
电子波函数 回顾量子力学的内容。氢原子哈密顿量的本征波函数是
ψnjm(r,θ,φ)=Rnj(r)Yjm(θ,φ)\psi_{njm}(r, \theta, \varphi) = R_{nj}(r)Y_{jm}(\theta, \varphi) ψnjm(r,θ,φ)=Rnj(r)Yjm(θ,φ)
其中 nnn 是主量子数用于标定能级，同时控制轨道角动量 jjj 的取值范围
j=0,1,2,…,n−1,∑j=0n−1(2j+1)=n2j = 0, 1, 2, \ldots, n - 1, \qquad \sum_{j = 0}^{n - 1} (2j+1) = n^2 j=0,1,2,…,n−1,j=0∑n−1(2j+1)=n2
非旋量 目前为止，未引入电子的二分量形式，只是把电子当成普通的"标量点粒子"看待，不是什么旋量
实际上，由于电势的 1/r1/r1/r 形式，HHH 的对称性不止 SO(3)SO(3)SO(3)，而是 SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2SO(4) = SU(2) \times SU(2)/\mathbb{Z}_2SO(4)=SU(2)×SU(2)/Z2
龙格楞次矢量 记势能为 −k/r- k /r−k/r，其中 kkk 是常数，龙格楞次 (Runge–Lenz) 矢量定义为
1mp⃗×L⃗−kx⃗r\frac{1}{m}\vec p \times \vec L - \frac{k \vec x}{r} m1p×L−rkx
SO(4),SO(3),SU(2)SO(4), SO(3), SU(2)SO(4),SO(3),SU(2) 有如下的李群同构
SO(3)×SO(3)= SO(4)/Z2=SU(2)Z2×SU(2)Z2SU(2)×SU(2)Z2diagonal= SO(4)\begin{align*} SO(3) \times SO(3) = & \ SO(4)/\mathbb{Z}_2 = \frac{SU(2)}{\mathbb{Z}_2} \times \frac{SU(2)}{\mathbb{Z}_2} \\ \frac{SU(2) \times SU(2)}{\mathbb{Z}^\text{diagonal}_2} = & \ SO(4) \end{align*}SO(3)×SO(3)=Z2diagonalSU(2)×SU(2)= SO(4)/Z2=Z2SU(2)×Z2SU(2) SO(4)
(2J+1)2=12,22,33,⋯=n2(2J + 1)^2 = 1^2, 2^2, 3^3, \cdots = n^2 (2J+1)2=12,22,33,⋯=n2
自旋 JJJ 与 jjj 给定一个主量子数 nnn，可以定出 J∈12NJ \in \frac{1}{2}\mathbb{N}J∈21N，定义为 J≔n−12J \coloneqq \frac{n - 1}{2}J:=2n−1。
第 nnn 能级本征空间相当于张量积表示 RJ⊗RJ\mathcal{R}_J \otimes \mathcal{R}_JRJ⊗RJ，
RJ⊗RJ=R0⊕R1⊕⋯⊕R2J=⊕j=0n−1Rj\mathcal{R}_J \otimes \mathcal{R}_J = \mathcal{R}_0 \oplus \mathcal{R}_1 \oplus \cdots \oplus \mathcal{R}_{2J} = \oplus_{j = 0}^{n - 1} \mathcal{R}_jRJ⊗RJ=R0⊕R1⊕⋯⊕R2J=⊕j=0n−1Rj
总维度
∑j=0n−1(2j+1)=n2\sum_{j = 0}^{n - 1}(2j + 1) = n^2 j=0∑n−1(2j+1)=n2
为了解释原子光谱的精细结构，意识到三个事情
旋量 自旋轨道耦合正式确定电子是一个旋量
SO(3)SO(3)SO(3) 对称性 ⇒\Rightarrow⇒ s⃗\vec ss 和 j⃗\vec jj 在空间转动下同时以同轴同角旋转
相对论性 自旋轨道耦合：Dirac 方程，相对论性方程
相对论效应：核外静电场在高速电子看来幻化出磁场，与自身自旋磁矩耦合
相对论性
原味的旋量的概念与相对论、洛伦兹对称性紧密锁定。
非相对论性理论，通常不需要认真考虑旋量，顶多是「二分量」。
Rj1⊗Rj2≃⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2j⏟=1Rj\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} \simeq \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \underbrace{N_{j_1 j_2}{^{j}}}_{= 1} \mathcal{R}_j Rj1⊗Rj2≃⊕j=∣j1−j2∣j1+j2=1Nj1j2jRj
= (⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2jRj)⊗Rj3= ⊕j=∣j1−j2∣j1+j2(⊕j′=∣j3−j∣j3+jNj1j2jNjj3j′Rj′)\begin{align*} = & \ (\oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} N_{j_1 j_2}{^{j}} \mathcal{R}_j) \otimes \mathcal{R}_{j_3} \\ = & \ \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} \left(\oplus_{j' = |j_3 - j|}^{j_3 + j} N_{j_1 j_2}{^{j}} N_{j j_3}{^{j'}} \mathcal{R}_{j'}\right) \end{align*}== (⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2jRj)⊗Rj3 ⊕j=∣j1−j2∣j1+j2(⊕j′=∣j3−j∣j3+jNj1j2jNjj3j′Rj′)
⊕j=∣j1=j2∣j1+j2Nj1j2jNjj30⏟=δj−j3,0R0=δj3∈{∣j1−j2∣,…,j1+j2}R0\oplus_{j = |j_1 = j_2|}^{j_1 + j_2} N_{j_1 j_2}{^{j}} \underbrace{N_{j j_3}{^{0}}} _{ = \delta_{j - j_3, 0}}\mathcal{R}_0 = \delta_{j_3 \in \{|j_1 - j_2|, \ldots, j_1 + j_2 \} }\mathcal{R}_0⊕j=∣j1=j2∣j1+j2Nj1j2j=δj−j3,0Njj30R0=δj3∈{∣j1−j2∣,…,j1+j2}R0
χRj(ω)=sin(j+12)ωsin12ω≔q2j+12−q−2j+12q12−q−12\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega) = \frac{\sin (j + \frac{1}{2})\omega}{\sin \frac{1}{2}\omega} \coloneqq \frac{q^{\frac{2j + 1}{2}} - q^{- \frac{2j + 1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}} - q^{- \frac{1}{2}}}χRj(ω)=sin21ωsin(j+21)ω:=q21−q−21q22j+1−q−22j+1
dimqRj→q→1dimRj=2j+1\dim_q \mathcal{R}_j \xrightarrow{q \to 1} \dim \mathcal{R}_j = 2j + 1 dimqRjq→1dimRj=2j+1
dimqRj1dimqRj2=∑j3=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2j3dimqRj3\dim_q \mathcal{R}_{j_1} \dim_q \mathcal{R}_{j_2} = \sum_{j_3 =|j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} N_{j_1 j_2}{^{j_3}} \dim_q \mathcal{R}_{j_3}dimqRj1dimqRj2=j3=∣j1−j2∣∑j1+j2Nj1j2j3dimqRj3
level kkk 自然数 kkk 是人为引入的一个新参数，称为 level。分母 k+2k + 2k+2 的 +2+2+2 对应 SU(2)SU(2)SU(2) 的 dual Coxeter number h∨(SU(2))=2h^\vee (SU(2)) = 2h∨(SU(2))=2。
χRj(ωk)=sin(j+12)ωksin12ωk=sin(2j+1)πk+2sinπk+2\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k) = \frac{\sin (j + \frac{1}{2})\omega_k}{\sin \frac{1}{2}\omega_k} = \frac{\sin\frac{(2j + 1)\pi}{k + 2}}{\sin \frac{\pi}{k + 2}} χRj(ωk)=sin21ωksin(j+21)ωk=sink+2πsink+2(2j+1)π
χRj1(ωk)χRj2(ωk)= ∑j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2jχRj(ωk)= ∑j=∣j1−j2∣min(j1+j2,k−j1−j2)Nj1j2jχRj(ωk)\begin{align*} \chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(\omega_k) \chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(\omega_k) = & \ \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2}N_{j_1 j_2}{^j}\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k) \\ = & \ \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{\min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2)}N_{j_1 j_2}{^j}\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k) \end{align*}χRj1(ωk)χRj2(ωk)== j=∣j1−j2∣∑j1+j2Nj1j2jχRj(ωk) j=∣j1−j2∣∑min(j1+j2,k−j1−j2)Nj1j2jχRj(ωk)
∑min(j1+j2,k−j1−j2)+1j1+j2Nj1j2jχRj(ωk)=0\sum_{\min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2) + 1}^{j_1 + j_2}N_{j_1 j_2}{^j}\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k) = 0 min(j1+j2,k−j1−j2)+1∑j1+j2Nj1j2jχRj(ωk)=0
∑j=min(J,k−J)+1Jsin(2j+1)πk+2=0\sum_{j = \min(J, k - J) + 1}^{J}\sin\frac{(2j + 1)\pi}{k + 2} = 0 j=min(J,k−J)+1∑Jsink+2(2j+1)π=0
分类讨论即可。分界线为 J=k−JJ = k - JJ=k−J。此时 min(J,k−J)+1>J\min(J, k - J) + 1 > Jmin(J,k−J)+1>J，求和自动为零。
倘若 J>k−JJ > k - JJ>k−J，则令 2J=k+N2J = k + N2J=k+N，N∈N≥1N \in \mathbb{N}_{\ge 1}N∈N≥1。原求和为
= ∑j=k−J+1Jsin(2j+1)πk+2=ℓ=2j+1∑ℓ=k−N+3k+N+1sinℓπk+2= \ \sum_{j = k - J + 1}^{J} \sin \frac{(2j + 1)\pi}{k + 2} \stackrel{\ell = 2j + 1}{=} \sum_{\ell = k - N + 3}^{k + N + 1}\sin\frac{\ell \pi}{k + 2}= j=k−J+1∑Jsink+2(2j+1)π=ℓ=2j+1ℓ=k−N+3∑k+N+1sink+2ℓπ
利用 sin(x−π)=−sinx\sin (x - \pi) = - \sin xsin(x−π)=−sinx
=∑ℓ=k−N+3k+N+1sinℓπk+2=ℓ→ℓ+(k+2) −∑ℓ=−N+1N−1sinℓπk+2=0= \sum_{\ell = k - N + 3}^{k + N + 1}\sin\frac{\ell \pi}{k + 2} \stackrel{\ell \to \ell + (k + 2)}{=} \ - \sum_{\ell = - N + 1}^{N - 1} \sin \frac{\ell \pi}{k + 2} = 0=ℓ=k−N+3∑k+N+1sink+2ℓπ=ℓ→ℓ+(k+2) −ℓ=−N+1∑N−1sink+2ℓπ=0
类似地可以证明 J<k−JJ < k - JJ<k−J 的情况。
χRj1(ωk)χRj2(ωk)= ∑j=∣j1−j2∣min(j1+j2,k−j1−j2)Nj1j2j⏟=1χRj(ωk)\chi_{\mathcal{R}_{j_1}}(\omega_k) \chi_{\mathcal{R}_{j_2}}(\omega_k) = \ \sum_{j = |j_1 - j_2|}^{\min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2)} \underbrace{N_{j_1 j_2}{^j}}_{= 1}\chi_{\mathcal{R}_j}(\omega_k)χRj1(ωk)χRj2(ωk)= j=∣j1−j2∣∑min(j1+j2,k−j1−j2)=1Nj1j2jχRj(ωk)
Rj1⊗Rj2=⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2jRj\mathcal{R}_{j_1} \otimes \mathcal{R}_{j_2} = \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2}N_{j_1 j_2}{^{j}}\mathcal{R}_j Rj1⊗Rj2=⊕j=∣j1−j2∣j1+j2Nj1j2jRj
Rj1×Rj2=⊕j=02k2Nj1j2jRj=⊕j=∣j1−j2∣min(j1+j2,k−j1−j2)Rj\mathcal{R}_{j_1} \times \mathcal{R}_{j_2} = \oplus_{j = \frac{0}{2}}^{\frac{k}{2}}\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j}} \mathcal{R}_j = \oplus_{j = |j_1 - j_2|}^{\min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2)}\mathcal{R}_jRj1×Rj2=⊕j=202kNj1j2jRj=⊕j=∣j1−j2∣min(j1+j2,k−j1−j2)Rj
Fusion coefficient 这里的 Nj1j2j3\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j_3}}Nj1j2j3 通常称为 fusion coefficients，具体取值为
Nj1j2j3={1j3=∣j1−j2∣,…,min(j1+j2,k−j1−j2)0otherwise\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & j_3 = |j_1 - j_2|, \ldots, \min(j_1 + j_2, k - j_1 - j_2) \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right.Nj1j2j3={10j3=∣j1−j2∣,…,min(j1+j2,k−j1−j2)otherwise
j=0,12,…,k2j = 0, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{k}{2} j=0,21,…,2k
∑j′=0/2k/2Nj1j2j′Nj′j3j4=∑j′=0/2k/2Nj2j3j′Nj′j1j4\sum_{j' = 0/2}^{k/2}\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j'}}\mathcal{N}_{j' j_3}{^{j_4}} = \sum_{j' = 0/2}^{k/2} \mathcal{N}_{j_2 j_3}{^{j'}} \mathcal{N}_{j' j_1}{^{j_4}}j′=0/2∑k/2Nj1j2j′Nj′j3j4=j′=0/2∑k/2Nj2j3j′Nj′j1j4
(阿贝尔) 任意子统计
∣ψ1ψ2⟩=eiθ∣ψ2ψ1⟩|\psi_1 \psi_2\rangle = e^{i \theta} |\psi_2 \psi_1\rangle ∣ψ1ψ2⟩=eiθ∣ψ2ψ1⟩
θ=0\theta = 0θ=0 是玻色子，θ=π\theta = \piθ=π 是费米子。
eiθe^{i\theta}eiθ：标记 BNB_NBN 的一维表示
在 S2=C∪{∞}S^2 = \mathbb{C} \cup \{\infty \}S2=C∪{∞} 上放 nnn 个 jjj-类 任意子：基态希尔伯特空间的维度是
dimHj,n0=∑j1,j2,…Njjj1Njj1j2…Njjn−3j⏟n−2 个 N∼Njn−2\dim\mathcal{H}^0_{j,n} = \sum_{j_1, j_2, \ldots} \underbrace{\mathcal{N}_{jj}{^{j_1}}\mathcal{N}_{jj_1}{^{j_2}} \ldots \mathcal{N}_{jj_{n - 3}}{^{j}}}_{n - 2 \text{ 个 } \mathcal{N}} \sim \mathcal{N}_j^{n - 2} dimHj,n0=j1,j2,…∑n−2 个 NNjjj1Njj1j2…Njjn−3j∼Njn−2
dim(j,+∞)∼(max(Nj 的本征值))n−2≔djn−2\dim(j, +\infty) \sim (\max{(\mathcal{N}_j \text{ 的本征值})})^{n - 2} \coloneqq d_j^{n - 2} dim(j,+∞)∼(max(Nj 的本征值))n−2:=djn−2
其中 max(Nj 的本征值)\max{(N_j \text{ 的本征值})}max(Nj 的本征值) 称为 jjj-类任意子的量子维度 djd_jdj。
定理：jjj-类任意子的量子维度可写成 SU(2)SU(2)SU(2) 特征标
dj=dimqRj∣q=e2πik+2=χRj(ω=2πk+2)d_j = \dim_q\mathcal{R}_j|_{q = e^{\frac{2\pi i}{k + 2}}} = \chi_{\mathcal{R}_j}(\omega = \frac{2\pi}{k + 2})dj=dimqRj∣q=ek+22πi=χRj(ω=k+22π)
比如，考虑环面 T2T^2T2 上放置一个 jjj-型任意子。
Sj1j2≔ 2k+2sin[πk+2(2j1+1)(2j2+1)]S_{j_1}{^{j_2}} \coloneqq \ \sqrt{\frac{2}{k + 2}} \sin \left[\frac{\pi}{k + 2} (2j_1 + 1)(2j_2 + 1)\right] Sj1j2:= k+22sin[k+2π(2j1+1)(2j2+1)]
χRj1(ω=2πk+2(2j2+1))=Sj1j2S0j2=Sj2j1S0j2\chi_{\mathcal{R}_{j_1}}\left(\omega = \frac{2\pi}{k + 2}(2j_2 + 1) \right) = \frac{S_{j_1}{^{j_2}}}{S_{0}{^{j_2}}} = \frac{S_{j_2}{^{j_1}}}{S_{0}{^{j_2}}}χRj1(ω=k+22π(2j2+1))=S0j2Sj1j2=S0j2Sj2j1
(S2)j1j2=δj1j2 ,Sj1j2=Sj2j1∈R(S^2)_{j_1}{^{j_2}} = \delta_{j_1} {^{j_2}} \ , \qquad S_{j_1}{^{j_2}} = S_{j_2}{^{j_1}} \in \mathbb{R}(S2)j1j2=δj1j2 ,Sj1j2=Sj2j1∈R
Tj1j2=δj1j2e2πi[j1(j1+1)k+2−1243kk+2]T_{j_1}{^{j_2}} = \delta_{j_1}^{j_2} e^{2\pi i \left[\frac{j_1(j_1 + 1)}{k + 2} - \frac{1}{24} \frac{3k}{k + 2}\right]} Tj1j2=δj1j2e2πi[k+2j1(j1+1)−241k+23k]
S2=1,(ST)3=1S^2 = \mathbf{1}, \qquad (ST)^3 = \mathbf{1} S2=1,(ST)3=1
Nj1j2j3=∑j=0/2k/2Sj1jSj2j(S−1)jj3S0j\mathcal{N}_{j_1 j_2}{^{j_3}} = \sum_{j=0/2}^{k/2} \frac{ S_{j_1}{^j}S_{j_2}{^j} (S^{-1})_{j}{^{j_3}} }{S_0{^j}}Nj1j2j3=j=0/2∑k/2S0jSj1jSj2j(S−1)jj3
同时对角化 Verlinde 公式的一个原因是 Nj\mathcal{N}_jNj 矩阵的对称性以及结合律，后者也带来对易关系 [Nj,Nj′]=0[\mathcal{N}_j, \mathcal{N}_{j'}] = 0[Nj,Nj′]=0，于是可以同时对角化。
dj1j=Sj1jS0j=χRj1(2πk+2(2j+1)) ,j1,j=0,12,…,k2d_{j_1}{^j} = \frac{S_{j_1}{^j}}{S_{0}{^j}}= \chi_{\mathcal{R}_{j_1}} (\frac{2\pi}{k + 2}(2j + 1)) \ , \quad j_1, j = 0, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{k}{2}dj1j=S0jSj1j=χRj1(k+22π(2j+1)) ,j1,j=0,21,…,2k
说明 把对角化详细的矩阵元方程写出，使用交换律、结合律以及 N0jj′=δjj′\mathcal{N}_{0j}{^{j'}} = \delta_{j}{^{j'}}N0jj′=δjj′。
dj=dj0=χRj(ω=2πk+2)=Sj0S00=⟨Wj⟩d_j = d_j{^0} = \chi_{\mathcal{R}_j}(\omega = \frac{2\pi}{k + 2}) = \frac{S_{j}{^0}}{S_{0}{^0}} = \langle W_j\rangledj=dj0=χRj(ω=k+22π)=S00Sj0=⟨Wj⟩
L=k4π∫Mtr(AdA+23A3) ,k=1,2,3,…\mathcal{L} = \frac{k}{4\pi} \int_M \operatorname{tr} (A dA + \frac{2}{3} A^3) \ , \qquad k = 1, 2, 3, \ldots L=4πk∫Mtr(AdA+32A3) ,k=1,2,3,…
kkk 的整性 耦合常数 k∈Nk \in \mathbb{N}k∈N 用于保证当 MMM 是闭合流形时，eiSe^{iS}eiS 在规范变换下不变。
Z=∫[DA]eiSZ = \int [DA] e^{i S} Z=∫[DA]eiS
⟨∏i=1nWji(Ci)⟩≔1Z∫[DA]eiS∏i=1ntrPexp[∮CiA]\langle \prod_{i = 1}^{n} W_{j_i}(C_i)\rangle \coloneqq \frac{1}{Z} \int [DA] e^{i S} \prod_{i = 1}^{n} \operatorname{tr}\mathcal{P}\exp \left[\oint_{C_i}A \right] ⟨i=1∏nWji(Ci)⟩:=Z1∫[DA]eiSi=1∏ntrPexp[∮CiA]
Z=S00Z = S_{0}{^0} Z=S00
⟨Wj⟩=S0jS00=χRj(2πk+2)\langle W_{j} \rangle =\frac{S_{0}{^j}}{S_{0}{^0}} = \chi_{\mathcal{R}_j}(\frac{2\pi}{k + 2}) ⟨Wj⟩=S00S0j=χRj(k+22π)
1≤r≤p,1≤s≤p−1,(p+1)s<pr1 \le r \le p, \quad 1 \le s \le p - 1, \quad (p + 1)s < pr1≤r≤p,1≤s≤p−1,(p+1)s<pr
S(r,s)(u,v)=22p(p+1)(−1)1+su+rvsin(πpp+1ru)sin(πp+1psv)S_{(r, s)}{^{(u, v)}} = 2 \sqrt{\frac{2}{p (p + 1)}} (-1)^{1 + su + rv} \sin \left(\pi \frac{p}{p + 1}ru\right) \sin \left(\pi \frac{p + 1}{p} sv\right)S(r,s)(u,v)=2p(p+1)2(−1)1+su+rvsin(πp+1pru)sin(πpp+1sv)
每个 SU(2)SU(2)SU(2) 的不可约表示可以用一个 杨图 (Young diagram) 表示来标记 (由剑桥大学数学家 Alfred Young 引入)，
其中要求 合法 SU(2)SU(2)SU(2) 杨图
(1) 最多只有两行 (盒子向左向上对齐)
(2) Y1≥Y2≥0Y_1 \ge Y_2 \ge 0Y1≥Y2≥0
在下方示意图图中考虑 N=2N = 2N=2
例：Y1=3,Y2=0Y_1 = 3, Y_2 = 0Y1=3,Y2=0
一行三个盒子对应的是 444 维不可约表示 Rj=32\mathcal{R}_{j = \frac{3}{2}}Rj=23
Y1=2,Y2=1Y_1 = 2, Y_2 = 1Y1=2,Y2=1
对应 222 维不可约表示 Rj=12\mathcal{R}_{j = \frac{1}{2}}Rj=21
Y1=nY_1 = nY1=n
dimRj=2j+1=n+1\dim \mathcal{R}_{j} = 2j + 1 = n + 1dimRj=2j+1=n+1
一行 nnn 个盒子：对应 Rj=n2\mathcal{R}_{j = \frac{n}{2}}Rj=2n
常见的单行杨图
一般两行杨图 Y1=m+nY_1 = m + nY1=m+n, Y2=mY_2 = mY2=m,
满减：满两行的列可以删掉
代表相同的 Rj=2\mathcal{R}_{j = 2}Rj=2
例子
Rj=2⊗Rj=1/2=Rj=32⊕Rj=52\mathcal{R}_{j = 2} \otimes \mathcal{R}_{j = 1/2} = \mathcal{R}_{j = \frac{3}{2}} \oplus \mathcal{R}_{j = \frac{5}{2}}Rj=2⊗Rj=1/2=Rj=23⊕Rj=25
Rj=2⊗Rj=1=Rj=1⊕Rj=2⊕Rj=3\mathcal{R}_{j = 2} \otimes \mathcal{R}_{j = 1} = \mathcal{R}_{j = 1} \oplus \mathcal{R}_{j = 2} \oplus \mathcal{R}_{j = 3}Rj=2⊗Rj=1=Rj=1⊕Rj=2⊕Rj=3
N×NN \times NN×N 复矩阵： N2N^2N2 个复矩阵元，2N22N^22N2 个实参数。
幺正条件 UU†=1N×NUU^\dagger = \mathbf{1}_{N \times N}UU†=1N×N 带来一些约束。
由于 UU†U U^\daggerUU† 自动是厄密矩阵：
特殊幺正群 SU(N)SU(N)SU(N) 由 N×NN \times NN×N 特殊幺正矩阵构成。
dimSU(N)=N2−1\dim SU(N) = N^2 - 1dimSU(N)=N2−1
特殊性条件 detU=1\det U = 1detU=1：
detUU†=∣detU∣2=det1N×N=1\det U U^\dagger = |\det U|^2 = \det \mathbf{1}_{N \times N} = 1 detUU†=∣detU∣2=det1N×N=1
总结：自由参数数量 =2N2−N−(N2−N)/2×2−1=N2−1= 2N^2 - N - (N^2 - N)/2 \times 2 - 1 = N^2 - 1=2N2−N−(N2−N)/2×2−1=N2−1。
SU(N)/SU(N−1)=S2N−1SU(N)/SU(N - 1) = S^{2N - 1} SU(N)/SU(N−1)=S2N−1
说明 利用 Ox=G/Gx\mathcal{O}_x = G/G_xOx=G/Gx。通过考虑 SU(N)SU(N)SU(N) 对 CN\mathbb{C}^NCN 中的 S2N−1S^{2N - 1}S2N−1 的群作用，论证任意点的轨道遍及 S2N−1S^{2N - 1}S2N−1 (从而 Ox=S2N−1\mathcal{O}_x = S^{2N - 1}Ox=S2N−1)，并论证迷向子群 Gx=SU(N−1)G_x = SU(N-1)Gx=SU(N−1) 即可。
SU(N)∼S2N−1×S2N−3×…×S5×S3SU(N) \sim S^{2N - 1} \times S^{2N - 3} \times \ldots \times S^5 \times S^3 SU(N)∼S2N−1×S2N−3×…×S5×S3
纤维丛 准确来说是形成复杂的主纤维丛结构。
U→UD=diag(eiφ1,…)=uUu−1,some u∈SU(N)U \to U_D = \operatorname{diag}(e^{i \varphi_1}, \ldots) = u U u^{-1}, \quad \text{some } u \in SU(N) U→UD=diag(eiφ1,…)=uUu−1,some u∈SU(N)
SU(2)SU(2)SU(2) 对于 SU(2)SU(2)SU(2)，有 X∈SU(2)X \in SU(2)X∈SU(2)
U(n⃗,ω)=XU(e⃗3,ω)X−1U(\vec n, \omega) = X U(\vec e_3, \omega) X^{-1} U(n,ω)=XU(e3,ω)X−1
中间的对角矩阵 UDU_DUD 可以写成
diag(eiφ1,…)=eiHD ,HD=diag(φ1,…,φN)\operatorname{diag}(e^{i \varphi_1}, \ldots) = e^{i H_D} \ , \quad H_D = \operatorname{diag}(\varphi_1, \ldots, \varphi_N)diag(eiφ1,…)=eiHD ,HD=diag(φ1,…,φN)
无迹厄密
显然 HDH_DHD 是 N×NN \times NN×N 无迹厄密矩阵：φA∈R\varphi_A \in \mathbb{R}φA∈R，
∑A=1NφA=0 \sum_{A = 1}^{N} \varphi_A = 0 A=1∑NφA=0
U=eiHU = e^{ i H} U=eiH
U=u−1eiHDu=eiu−1HDuU = u^{-1} e^{i H_D} u = e^{i u^{-1} H_D u} U=u−1eiHDu=eiu−1HDu
U≔eiHU \coloneqq e^{i H} U:=eiH
说明 直接证明即可。由于 [H,H]=0[H, H] = 0[H,H]=0，可以使用指数乘法规则，
UU†=eiHe−iH†=eiHe−iH=1U U^\dagger = e^{iH} e^{-i H^\dagger} = e^{iH} e^{-i H} = \mathbf{1} UU†=eiHe−iH†=eiHe−iH=1
另外，detU=eitrH=ei0=1\det U = e^{i \operatorname{tr}H} = e^{i 0} = 1detU=eitrH=ei0=1。
直接验证：dimsu(N)=N2−1=dimSU(N)\dim \mathfrak{su}(N) = N^2 - 1 = \dim SU(N)dimsu(N)=N2−1=dimSU(N)。
核心特征：对于 H1,H2∈su(N)H_1, H_2 \in \mathfrak{su}(N)H1,H2∈su(N)，对易子 $ i[H_1, H_2]$ 必然也是无迹厄密矩阵，即具有对易子封闭性。
基本和反基本表示
N=2N = 2N=2
当 N=2N = 2N=2 时，基本和反基本表示是等价的。
基本表示 2\mathbf{2}2 不可约 ⇒\Rightarrow⇒ 其复共轭 2‾\overline{\mathbf{2}}2 也不可约：222 维不可约表示只有一个等价类 ⇒\Rightarrow⇒ 2≃2‾\mathbf{2} \simeq \overline{\mathbf{2}}2≃2。
具体验证一下。考虑 n⃗=(n1,n2,n3)\vec n = (n_1, n_2, n_3)n=(n1,n2,n3)，U(n⃗,ω)=cosω21+isinω2n⃗⋅σ⃗U(\vec n, \omega) = \cos \frac{\omega}{2}\mathbf{1} + i \sin \frac{\omega}{2} \vec n \cdot \vec \sigmaU(n,ω)=cos2ω1+isin2ωn⋅σ，
U(n⃗,ω)‾=U((−n1,n2,−n3),ω)=σ2U(n⃗,ω)σ2\overline{U(\vec n, \omega)} = U( (- n_1, n_2, - n_3), \omega) = \sigma_2 U(\vec n, \omega) \sigma_2U(n,ω)=U((−n1,n2,−n3),ω)=σ2U(n,ω)σ2
N>2N > 2N>2：N≄N‾\mathbf{N} \not \simeq \overline{\mathbf{N}}N≃N。
su(N)={所有无迹厄密矩阵}\mathfrak{su}(N) = \{\text{所有无迹厄密矩阵}\} su(N)={所有无迹厄密矩阵}
Radj(U)H≔U−1HU ,∀H∈Vadj\mathcal{R}_\text{adj}(U) H \coloneqq U^{-1} H U \ , \qquad \forall H \in V_\text{adj} Radj(U)H:=U−1HU ,∀H∈Vadj
更一般地，SU(N)SU(N)SU(N) 的不可约表示可以用杨图 YYY 标记
不超过 NNN 行；向左、向上对齐
Y1≥Y2≥…≥YN≥0Y_1 \ge Y_2 \ge \ldots \ge Y_N \ge 0Y1≥Y2≥…≥YN≥0
优惠规则：满减
互为复共轭表示 (互补成 NNN 行矩形杨图)
SU(N)SU(N)SU(N) 一维平凡表示 1≔R∅\mathbf{1} \coloneqq \mathcal{R}_{\emptyset}1:=R∅
SU(N)SU(N)SU(N) 基本表示 N≔R□\mathbf{N} \coloneqq \mathcal{R}_{\square}N:=R□
SU(N)SU(N)SU(N) 反基本表示 N‾\overline{\mathbf{N}}N
SU(N)SU(N)SU(N) 伴随表示 adj\mathbf{adj}adj
杨图 YYY 对应的表示维度计算公式
dimRY=∏1≤A<B≤NN(YA−YB)−(A−B)∏1≤A<B≤NN(B−A)\dim \mathcal{R}_Y = \frac{\prod_{1 \le A < B \le N}^{N} (Y_A - Y_B) - (A - B)}{\prod_{1 \le A < B \le N}^{N} (B - A)} dimRY=∏1≤A<B≤NN(B−A)∏1≤A<B≤NN(YA−YB)−(A−B)
N=2N = 2N=2 对于 N=2N = 2N=2, Y1=nY_1 = nY1=n, Y2=0Y_2 = 0Y2=0，有
RY=Y1−Y2−(1−2)2−1=n+11=n+1\mathcal{R}_Y = \frac{Y_1 - Y_2 - (1 - 2)}{2 - 1} = \frac{n + 1}{1} = n + 1 RY=2−1Y1−Y2−(1−2)=1n+1=n+1
与之前结果相同。
χRY(UD)= det[eiφA(YB+N−B)]det[eiφA(N−B)]=det[eiφA(YB−B)]det[eiφA(−B)]≔ sY(eiφ1.…,eiφN)\begin{align*} \chi_{\mathcal{R}_Y}(U_D) = & \ \frac{\det [e^{i \varphi_A (Y_B + N - B)}]}{\det [e^{i \varphi_A (N - B)}]} = \frac{\det [e^{i \varphi_A (Y_B - B)}]}{\det [e^{i \varphi_A ( - B)}]} \\ \coloneqq & \ s_Y(e^{i \varphi_1}. \ldots, e^{i \varphi_N}) \end{align*}χRY(UD)=:= det[eiφA(N−B)]det[eiφA(YB+N−B)]=det[eiφA(−B)]det[eiφA(YB−B)] sY(eiφ1.…,eiφN)
Vandermonde 行列式 分母 det[eiφA(N−B)]\det [e^{i \varphi_A (N - B)}]det[eiφA(N−B)] 称为 Vandermonde 行列式，
det[eiφA(N−B)]=∏1≤A,B≤N(eiφA−eiφB)\det [e^{i \varphi_A (N - B)}] = \prod_{1 \le A, B \le N}(e^{i \varphi_A} - e^{i \varphi_B}) det[eiφA(N−B)]=1≤A,B≤N∏(eiφA−eiφB)
f(U)=f(UD)=f(φ1,…,φN)f(U) = f(U_D) = f(\varphi_1, \ldots, \varphi_N) f(U)=f(UD)=f(φ1,…,φN)
∫SU(N)[dU]f(U)= 1N!∫02π∏A=1N−1dφA2π∏A,B=1A≠BN(eiφA−eiφB)⏟J(φ)f(φ)∣φN=−∑i=1N−1φi\begin{align*} & \ \int_{SU(N)} [dU] f(U) \\ = & \ \frac{1}{N!}\int_0^{2\pi} \prod_{A = 1}^{N - 1} \frac{d\varphi_A}{2\pi} \underbrace{\prod_{\substack{A, B = 1 \\ A \ne B}}^{N}(e^{i \varphi_A} - e^{i \varphi_B})}_{J(\varphi)} f(\varphi)\Big|_{\varphi_N = - \sum_{i = 1}^{N - 1}\varphi_i} \end{align*}= ∫SU(N)[dU]f(U) N!1∫02πA=1∏N−12πdφAJ(φ)A,B=1A=B∏N(eiφA−eiφB)f(φ)φN=−∑i=1N−1φi
\begin{align*} = & \ - \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \frac{d\varphi_1}{2\pi} (e^{i \varphi_1} - e^{- i \varphi_1})^2 f(\varphi) \\ = & \ - \frac{1}{4\pi} \int_0^{2\pi} d\varphi_1 (2i)^2 \sin^2 \varphi_1 f(\varphi) \\ = & \ \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} d\varphi_1 \sin^2 \varphi_1 f\left(\begin{psmallmatrix} e^{i \varphi_1} \\ & e^{- i \varphi_1} \end{psmallmatrix}\right) \\ \frac{\omega}{2} = \varphi_1 \Rightarrow = & \ \frac{1}{\pi} \int_0^{4\pi} \frac{1}{2}d\omega \sin^2 \frac{\omega}{2} f\left(U(\vec e_3, \omega)\right) \\ \text{careful observation}= & \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} d\omega \sin^2 \frac{\omega}{2} f(U(\vec e_3, \omega)) \end{align*}
Vandermonde 行列式 平方一下得到 Haar 积分中的雅可比行列式 JJJ，
det[eiφA(N−B)]2=(−1)CN2J(φ)\det [e^{i \varphi_A (N - B)}]^2 = (-1)^{C_N^2} J(\varphi) det[eiφA(N−B)]2=(−1)CN2J(φ)
1N!∫∏A−1N−1dφA2πJ(φ)sY(φ)sY′(φ)‾=δYY′\frac{1}{N!}\int \prod_{A - 1}^{N-1}\frac{d\varphi_A}{2\pi}J(\varphi) s_Y(\varphi) \overline{s_{Y'} (\varphi)} = \delta_{Y Y'}N!1∫A−1∏N−12πdφAJ(φ)sY(φ)sY′(φ)=δYY′
sY1sY2=∑YNY1,Y2YsYs_{Y_1} s_{Y_2} = \sum_{Y}N_{Y_1, Y_2}{^Y} s_Y sY1sY2=Y∑NY1,Y2YsY
NY1,Y2Y=1N!∫∏A=1N−1dφA2πJ(φ)sY1(φ)sY1(φ)sY(φ)‾N_{Y_1, Y_2}{^Y} = \frac{1}{N!}\int \prod_{A = 1}^{N-1}\frac{d\varphi_A}{2\pi}J(\varphi) s_{Y_1}(\varphi)s_{Y_1}(\varphi) \overline{s_Y(\varphi)} NY1,Y2Y=N!1∫A=1∏N−12πdφAJ(φ)sY1(φ)sY1(φ)sY(φ)
RY⊗RY′=⊕Y~NYY′Y~RY~\mathcal{R}_Y \otimes \mathcal{R}_{Y'} = \oplus_{\tilde Y} N_{YY'}{^{\tilde Y}} \mathcal{R}_{\tilde Y} RY⊗RY′=⊕Y~NYY′Y~RY~
NYY′Y~=∫[dU]χRY(U)χRY(U)χRY~(U)‾N_{YY'}{^{\tilde Y}} = \int [dU]\chi_{\mathcal{R}_Y}(U) \chi_{\mathcal{R}_Y}(U)\overline{\chi_{\mathcal{R}_{\tilde Y}}(U)}NYY′Y~=∫[dU]χRY(U)χRY(U)χRY~(U)
注：这里显示具有行号标记的杨图示意，表示 3⊗3‾\mathbf{3} \otimes \mathbf{\overline{3}}3⊗3 的张量积分解过程
注：显示 3⊗3‾\mathbf{3} \otimes \mathbf{\overline{3}}3⊗3 分解为 1⊕8\mathbf{1} \oplus \mathbf{8}1⊕8 的杨图计算结果
注：展示 8⊗8\mathbf{8} \otimes \mathbf{8}8⊗8 张量积的杨图操作，第一行格子移动的四种可能情况
注：显示第一行格子移动完成后的四个基础杨图配置
注：显示第一个基础图形继续添加第二行格子的所有合法配置
注：显示第二个基础图形继续添加第二行格子的所有合法配置
注：显示第三、四个基础图形继续添加第二行格子的所有合法配置
注：展示 8⊗8\mathbf{8} \otimes \mathbf{8}8⊗8 张量积的完整分解结果，包含多个不可约表示的直和
注：显示 SU(3)SU(3)SU(3) 群中 8⊗8\mathbf{8} \otimes \mathbf{8}8⊗8 张量积的最终分解：27⊕10⊕10‾⊕8⊕1\mathbf{27} \oplus \mathbf{10} \oplus \mathbf{\overline{10}} \oplus \mathbf{8} \oplus \mathbf{1}27⊕10⊕10⊕8⊕1
uU=Uu ,∀U∈SU(N) .u U = U u \ , \qquad \forall U \in SU(N) \ . uU=Uu ,∀U∈SU(N) .
u=λ1N×N .u = \lambda \mathbf{1}_{N \times N}\ . u=λ1N×N .
λ=e2πikN ,k=0,1,…,N−1 .\lambda = e^{\frac{2\pi i k}{N}} \ , \qquad k = 0, 1, \ldots, N - 1 \ . λ=eN2πik ,k=0,1,…,N−1 .
C(SU(N))={e2πikN1N×N ∣ k=0,1,…,N−1}=ZN .C(SU(N)) = \{e^{\frac{2\pi i k}{N}} \mathbf{1}_{N \times N} \ | \ k = 0, 1, \ldots, N - 1 \} = \mathbb{Z}_N \ . C(SU(N))={eN2πik1N×N ∣ k=0,1,…,N−1}=ZN .
O(N)≔{O ∣ OTO=1N×N} .O(N) \coloneqq \{O \ | \ O^TO = \mathbf{1}_{N \times N}\} \ . O(N):={O ∣ OTO=1N×N} .
detOTO=det1N×N=1⇒detO=±1 .\det O^T O = \det \mathbf{1}_{N \times N} = 1 \Rightarrow \det O = \pm 1 \ . detOTO=det1N×N=1⇒detO=±1 .
O=(abcd)O = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}O=(acbd)
a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0 .a^2 + b^2 = 1, \qquad c^2 + d^2 = 1, \qquad ac + bd = 0 \ . a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0 .
ccosφ+dsinφ=0⇒c=−λsinφ,d=λcosφ .c \cos \varphi + d \sin \varphi = 0 \\ \Rightarrow c = - \lambda \sin \varphi, \qquad d = \lambda \cos\varphi \ .ccosφ+dsinφ=0⇒c=−λsinφ,d=λcosφ .
O(2)={(cosφsinφ−sinφcosφ)⏟顺时针转动 φ 角}∪{(cosφsinφsinφ−cosφ)⏟πφ} .O(2) = \Bigg\{ \underbrace{\begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ - \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix}}_\text{顺时针转动 $\varphi$ 角} \Bigg\} \cup \Bigg\{ \underbrace{\begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ \sin \varphi & - \cos \varphi \end{pmatrix}}_{\pi_\varphi} \Bigg\} \ .O(2)={顺时针转动 φ 角(cosφ−sinφsinφcosφ)}∪{πφ(cosφsinφsinφ−cosφ)} .
π0(xy)=(cosφsinφsinφ−cosφ)∣φ=0(xy)=(x−y)\pi_0 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ \sin \varphi & - \cos \varphi \end{pmatrix}\Bigg|_{\varphi = 0} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ - y \end{pmatrix}π0(xy)=(cosφsinφsinφ−cosφ)φ=0(xy)=(x−y)
注：展示 xxx-轴反射的几何图示，显示点 AAA、BBB、CCC 在反射操作下的变换关系
注：展示旋转操作 RφR_\varphiRφ 的几何图示，显示点的旋转变换
π0(B)=A,π0(A)=B,π0(C)=C,Rφ(C)=A,Rφ(B)=C .\pi_0(B) = A, \quad \pi_0(A) = B, \quad \pi_0(C) = C, \\ R_\varphi(C) = A, \quad R_\varphi(B) = C \ .π0(B)=A,π0(A)=B,π0(C)=C,Rφ(C)=A,Rφ(B)=C .
π0(Rφ(B))=C,π0(Rφ(C))=B .\pi_0(R_\varphi(B)) = C, \qquad \pi_0(R_\varphi(C)) = B \ .π0(Rφ(B))=C,π0(Rφ(C))=B .
注：展示复合操作 π0Rφ\pi_0 R_\varphiπ0Rφ 的几何效果，实际是以倾角 φ/2\varphi/2φ/2 的轴作反射
π0Rφ=(100−1)(cosφsinφ−sinφcosφ)=(cosφsinφsinφ−cosφ)\pi_0 R_\varphi = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi\\ - \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi\\ \sin \varphi & - \cos \varphi \end{pmatrix}π0Rφ=(100−1)(cosφ−sinφsinφcosφ)=(cosφsinφsinφ−cosφ)
πφ1Rφ2=πφ1+φ2,Rφ2πφ1=πφ1−φ2πφ1πφ2=Rφ2−φ1,Rφ1Rφ2=Rφ1+φ2πφ2=R0=1 .\pi_{\varphi_1} R_{\varphi_2} = \pi_{\varphi_1 + \varphi_2}, \qquad R_{\varphi_2}\pi_{\varphi_1} = \pi_{\varphi_1 - \varphi_2} \\ \pi_{\varphi_1} \pi_{\varphi_2} = R_{\varphi_2 - \varphi_1}, \qquad R_{\varphi_1} R_{\varphi_2} = R_{\varphi_1 + \varphi_2} \\ \pi_\varphi^2 = R_0 = \mathbf{1} \ .πφ1Rφ2=πφ1+φ2,Rφ2πφ1=πφ1−φ2πφ1πφ2=Rφ2−φ1,Rφ1Rφ2=Rφ1+φ2πφ2=R0=1 .
SO(2)SO(2)SO(2)：在 SO(2)SO(2)SO(2) 中，每一个转动 RφR_\varphiRφ 自成共轭类，因为 SO(2)SO(2)SO(2) 是阿贝尔群。
直接计算
Rφ1πφ2R−φ1=π2φ2−φ1 ,πφ1πφ2πφ1=π−φ2 .R_{\varphi_1} \pi_{\varphi_2} R_{-\varphi_1} = \pi_{2\varphi_2 - \varphi_1} \ , \qquad \pi_{\varphi_1} \pi_{\varphi_2} \pi_{\varphi_1} = \pi_{- \varphi_2}\ .Rφ1πφ2R−φ1=π2φ2−φ1 ,πφ1πφ2πφ1=π−φ2 .
因此所有反射 {πφ}\{\pi_\varphi\}{πφ} 形成一个 共轭类。
SO(2)={Rφ}≤O(2) .SO(2) = \{R_\varphi\} \le O(2) \ . SO(2)={Rφ}≤O(2) .
O(2)=SO(2)∪π0SO(2) .O(2) = SO(2) \cup \pi_0 SO(2) \ . O(2)=SO(2)∪π0SO(2) .
陪集：对任意 φ\varphiφ，有 πφSO(2)=π0SO(2)\pi_\varphi SO(2) = \pi_0 SO(2)πφSO(2)=π0SO(2)。
注：两个圆形分支分别表示 SO(2)SO(2)SO(2) 和 π0SO(2)\pi_0 SO(2)π0SO(2)
不存在一条 O(2)O(2)O(2) 中的路径从 SO(2)SO(2)SO(2) 连接到 π0SO(2)\pi_0 SO(2)π0SO(2)。
O(N)O(N)O(N) 中包含镜面反射 w.r.t. 某个 N−1N - 1N−1-维超平面，如
πi≔diag(1,…,1,−1,1,…,1) .\pi_i \coloneqq \operatorname{diag}(1, \ldots, 1, -1, 1, \ldots, 1) \ . πi:=diag(1,…,1,−1,1,…,1) .
是以 {xi=0}\{x_i = 0\}{xi=0} 为反射面的 反射。
以任意 N−1N - 1N−1-维超平面为镜面也有相应的反射 π∈O(N)\pi\in O(N)π∈O(N)，镜面本身是 π\piπ 的 不动点。
{1N×N,π}=Z2≤O(N)\{\mathbf{1}_{N \times N}, \pi\} = \mathbb{Z}_2 \le O(N){1N×N,π}=Z2≤O(N)：有无穷多个 Z2\mathbb{Z}_2Z2 子群
反射：人们通常认为反射操作 π\piπ 应该具有特征 π2=1\pi^2 = \mathbf{1}π2=1
O(N)O(N)O(N) 也有两个连通分支，
O(N)={O ∣OTO=1N×N,detO=1}∪{O ∣OTO=1N×N,detO=−1} .O(N) = \{O \ | O^TO = \mathbf{1}_{N \times N}, \det O = 1\} \\ \cup \{O \ | O^TO = \mathbf{1}_{N \times N}, \det O = - 1\} \ .O(N)={O ∣OTO=1N×N,detO=1}∪{O ∣OTO=1N×N,detO=−1} .
记
SO(N)≔{O ∣OTO=1N×N,detO=1} ,π1SO(N)≔{O ∣OTO=1N×N,detO=−1} .SO(N) \coloneqq \{O \ | O^TO = \mathbf{1}_{N \times N}, \det O = 1\} \ , \\ \pi_1SO(N) \coloneqq \{O \ | O^TO = \mathbf{1}_{N \times N}, \det O = - 1\} \ .SO(N):={O ∣OTO=1N×N,detO=1} ,π1SO(N):={O ∣OTO=1N×N,detO=−1} .
说明：直接计算行列式即可：detO=−1\det O = -1detO=−1，detπ1=−1\det \pi_1 = -1detπ1=−1，因此 detπ1O=+1,⇒π1O=R∈SO(N) .\det \pi_1 O = + 1, \qquad \Rightarrow \qquad \pi_1 O = R \in SO(N) \ . detπ1O=+1,⇒π1O=R∈SO(N) .
说明：直接计算行列式即可：detO=−1\det O = -1detO=−1，detπ1=−1\det \pi_1 = -1detπ1=−1，因此
detπ1O=+1,⇒π1O=R∈SO(N) .\det \pi_1 O = + 1, \qquad \Rightarrow \qquad \pi_1 O = R \in SO(N) \ . detπ1O=+1,⇒π1O=R∈SO(N) .
旋转反射：π1\pi_1π1 与 RRR 的复合通常称为 旋转反射。因此 π1SO(N)\pi_1SO(N)π1SO(N) 中的元素为全体旋转反射。但里面大多数元素并不满足 π2=1\pi^2 = \mathbf{1}π2=1：旋转反射 并不一定 是 反射。
说明：利用行列式，直接验证 πSO(N)π⊂SO(N)\pi SO(N) \pi \subset SO(N)πSO(N)π⊂SO(N) 即可。
O(N)=SO(N)⋊Z2 .O(N) = SO(N) \rtimes \mathbb{Z}_2 \ . O(N)=SO(N)⋊Z2 .
说明：只要建立起 同态双射 即可。这个同态双射选为 合并映射 ϕ:Z2×SO(N)→O(N)\phi: \mathbb{Z}_2 \times SO(N) \to O(N)ϕ:Z2×SO(N)→O(N) ϕ(s,R)≔sR∈O(N) .\phi(s, R) \coloneqq sR \in O(N)\ . ϕ(s,R):=sR∈O(N) .要说明它是同态，只需要验证 ϕ((s1,R1)(s2,R2)⏟(s1s2,R1R2))=ϕ(s1,R1)ϕ(s2,R2)⏟s1R1s2R2=s1s2R1R2 .\phi( \underbrace{(s_1, R_1)(s_2, R_2)}_{(s_1 s_2, R_1 R_2)} ) = \underbrace{\phi(s_1, R_1) \phi(s_2, R_2)}_{s_1 R_1 s_2 R_2 = s_1 s_2 R_1 R_2} \ . ϕ((s1s2,R1R2)(s1,R1)(s2,R2))=s1R1s2R2=s1s2R1R2ϕ(s1,R1)ϕ(s2,R2) .
说明：只要建立起 同态双射 即可。这个同态双射选为 合并映射 ϕ:Z2×SO(N)→O(N)\phi: \mathbb{Z}_2 \times SO(N) \to O(N)ϕ:Z2×SO(N)→O(N)
ϕ(s,R)≔sR∈O(N) .\phi(s, R) \coloneqq sR \in O(N)\ . ϕ(s,R):=sR∈O(N) .
要说明它是同态，只需要验证
ϕ((s1,R1)(s2,R2)⏟(s1s2,R1R2))=ϕ(s1,R1)ϕ(s2,R2)⏟s1R1s2R2=s1s2R1R2 .\phi( \underbrace{(s_1, R_1)(s_2, R_2)}_{(s_1 s_2, R_1 R_2)} ) = \underbrace{\phi(s_1, R_1) \phi(s_2, R_2)}_{s_1 R_1 s_2 R_2 = s_1 s_2 R_1 R_2} \ . ϕ((s1s2,R1R2)(s1,R1)(s2,R2))=s1R1s2R2=s1s2R1R2ϕ(s1,R1)ϕ(s2,R2) .
说明：要说明它是双射，只要找到 逆映射 即可。逆即为 拆分映射 ϕ~:O(N)→Z2×SO(N)\tilde \phi: O(N) \to \mathbb{Z}_2 \times SO(N)ϕ~:O(N)→Z2×SO(N)， ϕ~(O)=(detO,1detOO)∈Z2×SO(N) .\tilde \phi (O) = (\det O, \frac{1}{\det O} O) \in \mathbb{Z}_2 \times SO(N) \ . ϕ~(O)=(detO,detO1O)∈Z2×SO(N) .可以检验 互逆 性。 ϕ~(ϕ(s,R))=ϕ~(sR)=(det(sR),1det(sR)sR)=(s,R) ,ϕ(ϕ~(O))=ϕ((detO,1detOO))=detOdetOO=O .\tilde \phi(\phi(s, R)) = \tilde \phi(sR) = (\det (sR), \frac{1}{\det (sR)} sR) = (s, R) \ ,\\ \phi(\tilde \phi (O)) = \phi( (\det O, \frac{1}{\det O} O) ) = \frac{\det O}{\det O}O = O \ .ϕ~(ϕ(s,R))=ϕ~(sR)=(det(sR),det(sR)1sR)=(s,R) ,ϕ(ϕ~(O))=ϕ((detO,detO1O))=detOdetOO=O .
说明：要说明它是双射，只要找到 逆映射 即可。逆即为 拆分映射 ϕ~:O(N)→Z2×SO(N)\tilde \phi: O(N) \to \mathbb{Z}_2 \times SO(N)ϕ~:O(N)→Z2×SO(N)，
ϕ~(O)=(detO,1detOO)∈Z2×SO(N) .\tilde \phi (O) = (\det O, \frac{1}{\det O} O) \in \mathbb{Z}_2 \times SO(N) \ . ϕ~(O)=(detO,detO1O)∈Z2×SO(N) .
可以检验 互逆 性。
ϕ~(ϕ(s,R))=ϕ~(sR)=(det(sR),1det(sR)sR)=(s,R) ,ϕ(ϕ~(O))=ϕ((detO,1detOO))=detOdetOO=O .\tilde \phi(\phi(s, R)) = \tilde \phi(sR) = (\det (sR), \frac{1}{\det (sR)} sR) = (s, R) \ ,\\ \phi(\tilde \phi (O)) = \phi( (\det O, \frac{1}{\det O} O) ) = \frac{\det O}{\det O}O = O \ .ϕ~(ϕ(s,R))=ϕ~(sR)=(det(sR),det(sR)1sR)=(s,R) ,ϕ(ϕ~(O))=ϕ((detO,detO1O))=detOdetOO=O .
奇数 NNN：在上面整个证明中，只有一处使用到 $N = $ 奇数： ϕ~(sR)=(det(sR),1det(sR)sR)=(s,R) 只在 N 为奇数时成立。\tilde \phi(sR) = (\det (sR), \frac{1}{\det (sR)} sR) = (s, R) \text{ 只在 $N$ 为奇数时成立}。 ϕ~(sR)=(det(sR),det(sR)1sR)=(s,R) 只在 N 为奇数时成立。当 NNN 是偶数时， det(sR)=detR=1 ,与 s 无关。\det (sR) = \det R = 1 \ , \qquad \text{与 $s$ 无关}。 det(sR)=detR=1 ,与 s 无关。
奇数 NNN：在上面整个证明中，只有一处使用到 $N = $ 奇数：
ϕ~(sR)=(det(sR),1det(sR)sR)=(s,R) 只在 N 为奇数时成立。\tilde \phi(sR) = (\det (sR), \frac{1}{\det (sR)} sR) = (s, R) \text{ 只在 $N$ 为奇数时成立}。 ϕ~(sR)=(det(sR),det(sR)1sR)=(s,R) 只在 N 为奇数时成立。
当 NNN 是偶数时，
det(sR)=detR=1 ,与 s 无关。\det (sR) = \det R = 1 \ , \qquad \text{与 $s$ 无关}。 det(sR)=detR=1 ,与 s 无关。
第三种情况：第三种情况的群结构虽然同构于 ADE 型，但是群中确实包含 旋转反演操作，因此 并非 SO(3)SO(3)SO(3) 的子群
第一类点群：Cn,Dn,T,O,I<SO(3)<O(3)C_n, D_n, T, O, I < SO(3) < O(3)Cn,Dn,T,O,I<SO(3)<O(3)
考虑 σh\sigma_\text{h}σh 为 水平 放置的镜面诱导的反射。则 CnhC_{n\text{h}}Cnh 为
Cnh=Cn∪Cnσh=Cn×{e,σh} .C_{n \text{h}} = C_n \cup C_n \sigma_\text{h} = C_n \times \{e, \sigma_\text{h}\} \ . Cnh=Cn∪Cnσh=Cn×{e,σh} .
生成元：显然 σh\sigma_\text{h}σh 与 R(e3,2πn)R(e_3, \frac{2\pi}{n})R(e3,n2π) 乘法交换，相互独立，共同作为 CnhC_{n\text{h}}Cnh 生成元。
Cnv=Cn∪Cnσv≃Dn .C_{n \text{v}} = C_n \cup C_n \sigma_\text{v} \simeq D_n \ . Cnv=Cn∪Cnσv≃Dn .
DnD_nDn：二面体群的一种写法是 Dn={e=r0,r,r2,⋯ ,rn−1,r0π0,⋯ ,rn−1π0}=Zn∪Znπ0 .D_n = \{e = r^0, r, r^2, \cdots, r^{n - 1}, r^0\pi_0, \cdots, r^{n - 1}\pi_0\} = \mathbb{Z}_n \cup \mathbb{Z}_n \pi_0\ .Dn={e=r0,r,r2,⋯,rn−1,r0π0,⋯,rn−1π0}=Zn∪Znπ0 .其中 (rπ0)2=e(r \pi_0)^2 = e(rπ0)2=e, rn=er^n = ern=e, π02=e\pi_0^2 = eπ02=e，rπ0≠π0rr\pi_0 \ne \pi_0 rrπ0=π0r。
DnD_nDn：二面体群的一种写法是
Dn={e=r0,r,r2,⋯ ,rn−1,r0π0,⋯ ,rn−1π0}=Zn∪Znπ0 .D_n = \{e = r^0, r, r^2, \cdots, r^{n - 1}, r^0\pi_0, \cdots, r^{n - 1}\pi_0\} = \mathbb{Z}_n \cup \mathbb{Z}_n \pi_0\ .Dn={e=r0,r,r2,⋯,rn−1,r0π0,⋯,rn−1π0}=Zn∪Znπ0 .
其中 (rπ0)2=e(r \pi_0)^2 = e(rπ0)2=e, rn=er^n = ern=e, π02=e\pi_0^2 = eπ02=e，rπ0≠π0rr\pi_0 \ne \pi_0 rrπ0=π0r。
O(3)O(3)O(3) 中的两种 DnD_nDn：二面体群 DnD_nDn 在 O(3)O(3)O(3) 中以 两种面貌 出现：作为 SO(3)SO(3)SO(3) 的子群 (第一类点群)，或者不是 SO(3)SO(3)SO(3) 子群 (第二类点群)。核心区别在于 DnD_nDn 中的 平面内 镜面反射操作在 R3\mathbb{R}^3R3 中的实现方式： 翻面 (一种旋转)：所得到的群为 Dn⊂SO(3)D_n \subset SO(3)Dn⊂SO(3) 镜面反射：所得到的群为 Cnv⊂O(3)C_{n \text{v}} \subset O(3)Cnv⊂O(3)，Cnv⊄SO(3)C_{n \text{v}} \not \subset SO(3)Cnv⊂SO(3)
O(3)O(3)O(3) 中的两种 DnD_nDn：二面体群 DnD_nDn 在 O(3)O(3)O(3) 中以 两种面貌 出现：作为 SO(3)SO(3)SO(3) 的子群 (第一类点群)，或者不是 SO(3)SO(3)SO(3) 子群 (第二类点群)。核心区别在于 DnD_nDn 中的 平面内 镜面反射操作在 R3\mathbb{R}^3R3 中的实现方式：
生成元：CnvC_{n \text{v}}Cnv 的生成元是 R(e3,2πn)R(e_3, \frac{2\pi}{n})R(e3,n2π) 与 σv\sigma_\text{v}σv。
O(3)O(3)O(3) 中的两种 DnD_nDn：SO(3)SO(3)SO(3) 中的 DnD_nDn 也可以写成 Dn={R(2πnk) ∣ k=0,1,…,n−1}∪{R(2πnk)σhσv ∣ k=0,1,…,n−1}=Cn∪Cnσhσv .D_n = \{R(\frac{2\pi}{n}k) \ | \ k = 0, 1, \ldots, n - 1 \} \\ \cup \{ R(\frac{2\pi}{n}k)\sigma_\text{h}\sigma_\text{v} \ | \ k = 0, 1, \ldots, n - 1 \} = C_n \cup C_n \sigma_\text{h}\sigma_\text{v} \ .Dn={R(n2πk) ∣ k=0,1,…,n−1}∪{R(n2πk)σhσv ∣ k=0,1,…,n−1}=Cn∪Cnσhσv .这个群的生成元为 R(2πn)R(\frac{2\pi}{n})R(n2π) 与 σhσv\sigma_\text{h} \sigma_\text{v}σhσv。注意 σhσv\sigma_\text{h}\sigma_\text{v}σhσv 是一个 转动 操作。
O(3)O(3)O(3) 中的两种 DnD_nDn：SO(3)SO(3)SO(3) 中的 DnD_nDn 也可以写成
Dn={R(2πnk) ∣ k=0,1,…,n−1}∪{R(2πnk)σhσv ∣ k=0,1,…,n−1}=Cn∪Cnσhσv .D_n = \{R(\frac{2\pi}{n}k) \ | \ k = 0, 1, \ldots, n - 1 \} \\ \cup \{ R(\frac{2\pi}{n}k)\sigma_\text{h}\sigma_\text{v} \ | \ k = 0, 1, \ldots, n - 1 \} = C_n \cup C_n \sigma_\text{h}\sigma_\text{v} \ .Dn={R(n2πk) ∣ k=0,1,…,n−1}∪{R(n2πk)σhσv ∣ k=0,1,…,n−1}=Cn∪Cnσhσv .
这个群的生成元为 R(2πn)R(\frac{2\pi}{n})R(n2π) 与 σhσv\sigma_\text{h} \sigma_\text{v}σhσv。注意 σhσv\sigma_\text{h}\sigma_\text{v}σhσv 是一个 转动 操作。
注：显示二面体群在三维空间中的两种实现方式的几何图示，展示平面反射与翻面操作的区别
S2n≔{R(2πnk) ∣ k=0,…,n−1}∪{R(2π2nk)σh ∣ k=1,3…,2n−1}S_{2n} \coloneqq \{R(\frac{2\pi}{n}k) \ | \ k =0, \ldots, n - 1\}\\ \cup \{R(\frac{2\pi}{2n}k) \sigma_\text{h}\ | \ k =1, 3\ldots, 2n - 1\}S2n:={R(n2πk) ∣ k=0,…,n−1}∪{R(2n2πk)σh ∣ k=1,3…,2n−1}
生成元：群中最小的转动反射操作为 R(2π2n)σhR(\frac{2\pi}{2n}) \sigma_\text{h}R(2n2π)σh。其偶次幂给出 R(2πnk)R(\frac{2\pi}{n}k)R(n2πk) 部分，奇数次幂给出 R(2π2nk)σhR(\frac{2\pi}{2n}k)\sigma_\text{h}R(2n2πk)σh。因此，R(2π2n)σhR(\frac{2\pi}{2n}) \sigma_\text{h}R(2n2π)σh 是 生成元。
Dnh=Cnv∪Cnvσh=Cn∪Cnσh∪Cnσv∪Cnσvσh .D_{n \text{h}} = C_{n \text{v}} \cup C_{n \text{v}} \sigma_\text{h} = C_n \cup C_n \sigma_\text{h} \cup C_n \sigma_\text{v} \cup C_n \sigma_\text{v}\sigma_\text{h} \ .Dnh=Cnv∪Cnvσh=Cn∪Cnσh∪Cnσv∪Cnσvσh .
Dnd≔{R(2πn)k ∣ k=0,…,n−1}∪{R(2π2nk)σhσv ∣ k=1,3,…,2n−1} .D_{n \text{d}} \coloneqq \{R(\frac{2\pi}{n}) k \ | \ k = 0, \ldots, n - 1\} \\ \cup \{R(\frac{2\pi}{2n}k) \sigma_\text{h}\sigma_\text{v} \ | \ k = 1, 3, \ldots, 2n - 1 \} \ .Dnd:={R(n2π)k ∣ k=0,…,n−1}∪{R(2n2πk)σhσv ∣ k=1,3,…,2n−1} .
注：显示立方体的几何结构图，展示正六面体的对称性
非法点群：C5C_5C5 是一个五阶循环群，是 SO(3)SO(3)SO(3) 的子群。但是，它包含 555-阶元素，因此，C5C_5C5 不可能是晶体学点群。
证明： 第一图：显示一维晶格点在水平线上的排列 第二图：显示转动角度 θ\thetaθ 后的晶格点配置与约束条件 棕色与橙色连线与紫色一线平行：间隔应当是该方向晶格常数 aaa 的整数倍
证明：
第一图：显示一维晶格点在水平线上的排列
第二图：显示转动角度 θ\thetaθ 后的晶格点配置与约束条件
棕色与橙色连线与紫色一线平行：间隔应当是该方向晶格常数 aaa 的整数倍
直接约束：转动对称性的 order nnn 只能是 1,2,3,4,61, 2, 3, 4, 61,2,3,4,6
棕色与橙色连线与紫色一线平行：间隔应当是该方向晶格常数 aaa 的整数倍：ma=2acosθma = 2 a \cos \thetama=2acosθ，其中 m∈Zm \in \mathbb{Z}m∈Z，于是
θ=2π1, 2π2, 2π3, 2π4, 2π6 \theta = \frac{2\pi}{1}, \ \frac{2\pi}{2}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \frac{2\pi}{4}, \ \frac{2\pi}{6} θ=12π, 22π, 32π, 42π, 62π
高次轴：注意 DndD_{n\text{d}}Dnd 与 S2nS_{2n}S2n 的最小「转动角度」是 2π2n\frac{2\pi}{2n}2n2π。比如，D4dD_{4\text{d}}D4d 中的基本元素为转动反射 R(2π8)σhR(\frac{2\pi}{8}) \sigma_\text{h} R(82π)σh其中，σh\sigma_\text{h}σh 对紫棕橙原子所在的平面的原子 没有效果，因此上述转动反射的角度 2π/82\pi/82π/8 不可能保持平面内的晶格结构。因此，当 n>3n > 3n>3，DndD_{n \text{d}}Dnd 和 S2nS_{2n}S2n 不属于 晶体学点群
高次轴：注意 DndD_{n\text{d}}Dnd 与 S2nS_{2n}S2n 的最小「转动角度」是 2π2n\frac{2\pi}{2n}2n2π。比如，D4dD_{4\text{d}}D4d 中的基本元素为转动反射
R(2π8)σhR(\frac{2\pi}{8}) \sigma_\text{h} R(82π)σh
其中，σh\sigma_\text{h}σh 对紫棕橙原子所在的平面的原子 没有效果，因此上述转动反射的角度 2π/82\pi/82π/8 不可能保持平面内的晶格结构。因此，当 n>3n > 3n>3，DndD_{n \text{d}}Dnd 和 S2nS_{2n}S2n 不属于 晶体学点群
S/T=O .S/T = O \ . S/T=O .